 |
 |
 |
 |
../КИдание случайной интенсивности сигнала. Следовательно, веро-II ность правильного обнаружения при этом может быть рассчита-11,1 по таблицам f- или бета-распределений и в соответствии с (6.51)
D=D(Y. C) = a(C/(l-f9))==
i + q + C } \ a-/("+>-f<?
При этом выражение для потерь (D/«)P -1
т]= lOlg
(1 - D/P) {(In a/In D) - 11
p = n- 1.
(6.54)
(6.55)
График функции (6.54) для ao= 10- приведен на рис. 6.13. При п->-оо (6.51) и (6.54) переходят в
а=ехр(-С«); D=exp[-Сп/(1--9)]=ехр[1п а/(1-f ?)], которые, как и следовало ожидать, совпадают с соответствующими выражениями для характеристик обнаружения в случае гауссовской помехи с известной интенсивностью. Это значит, что АОЭ-рассматриваемых решающих правил по отношению к оптимальному правилу обнаружения рассматриваемого вида сигнала на фане помехи с известной интенсивностью равна единице.
Зависимость энергетических потерь минимаксного правила (6.47) от объема выборки, рассчитанная по (6.55), представлена на рис. 6.14. Потери при обнаружении когерентного сигнала со случайной амплитудой достаточно велики, но быстро падают с
20 24
20 30 £0
Рис. 6.13. Характеристики обнаруже- Рис. 6.14. Зависимость потерь в порого-
ния сигнала со случайной амплитудой вом сигнале от п для флуктуирующего
при а=10- ВЧ сигнала
4* 99
увеличением объема выборки п. Так, при 0.5D<0,99, аЮ- и п20 потери не превышают 1 дБ.
6.4. Многовыборочное обнаружение квазидетерминированного сигнала на фоне помех с неизвестными интенсивностямн в подвыборках
Постановка задачи. Пусть подлежащий обнаружению сигнал представлен N дискретными выборками из rij действительных или комплексных выборочных значений каждая, где /=1,... ..., JV - номер выборки. Такая задача возникает в радиолокаторах, когда сигнал обнаруживают по периодам повторения принимаемых колебаний с данного направления.
Рассмотрим следующие виды сигналов:
1. Детерминированные сигналы с неизвестными интенсивностя-ми vj: "Kvjaj-; ajaj = l в различных выборках.
2. Квазидетерминированные сигналы с неизвестными или случайными полярностями (или амплитудами) и неизвестными ин-трейсивностями vj (или средними интенсивностями yj-E\j).
3. Квазидетерминированные ВЧ сигналы с неизвестными интенсивностями и неизвестными или случайными равномерно распределенными начальными фазами : Vvjajexp(i9j); a*jaj=l.
4. Квазидетерминированные ВЧ сигналы с неизвестными интенсивностями vj и общей неизвестной начальной фазой ф.
5. Квазидетерминированные ВЧ сигналы со случайными интенсивностями vj и начальными фазами и неизвестными средними интенсивностями vj==£vj.
Во всех случаях гауссовская помеха предполагается в виде N независимых совокупностей из щ действительных или комплексных выборочных значений jj с нулевыми средними и корреляционными матрицами (соответственно действительными или эрмитовыми) Anj = ejA3; ivAj=\. Предполагается, что интенсивности сигналов и помех у,-, Vj и 8j априори неизвестны и могут принимать в различных выборках произвольные положительные значения. Начальные фазы ф сигнала в выборках также считаются независимыми. Нормированные известные векторы а, в общем случае предполагаются неодинаковыми в различных выборках, объем которых также может быть неодинаков.
Обнаруживаемый сигнал может присутствовать или отсутствовать одновременно во всех выборках. Задача заключается в принятии решения о наличии сигнала по всем N имеющимся в распоряжении наблюдателя совокупностям выборочных значений Хц, где i - номер выборочного значения в данной выборке. Для решения этой задачи можно воспользоваться методами оптимального обнаружения сигналов на фоне помех с несколькими неизвестными параметрами [27].
В качестве простейшего минимаксного критерия оптимизации можно потребовать максимизации в представляющей интерес об-
ласти Qi неизвестных параметров задачи e=(vj или Vj, щ, /=1,... ..., N) минимального значения вероятности правильного обнаружения D(Q), где
Qi = (e:A;,Yipo, /=1.....(6-56)
или, что эквивалентно,
fii={e:YiYo. /=1.....Щ- (6-57)
где yoj==pofkj и yj=yjfsj. При этом дополнительно требуется, чтобы вероятность правильного обнаружения D и ложного обнаружения а либо не зависела от конкретных значений интенсивностей помех sj в выборках
а(еь... ,8n)= const=ао, (6.58)
либо была ограничена сверху:
а(е,.....еяХао. (6.59)
Весовые множители kj, I, kj=N определяют форму контролируемой при оптимизации альтернативной области 12i и практически определяются тем, какому распределению параметра yj по / конструктор пожелает отдать предпочтение. В частном случае, когда объем выборки, форма сигналов а и нормированные корреляционные матрицы помех А,- одинаковы для всех выборок, а отношения сигнал-помеха yj имеют тенденцию к выравниванию, очевидно, целесообразно положить ,= 1. Приведенная выше задача соответствует также случаю мультипликативной помехи, эквивалентной изменяющемуся по неизвестному закону коэффициенту усиления приемного тракта от одной выборки к другой.
Оптимальные решающие правила. Семейство условных плотностей вероятности полной входной выборки х= (xi,...
xjv), где \j= (xij, Xnj), в присутствии полезного сигнала, зависящих от неизвестных векторных параметров задачи е и -у» в силу статистической независимости подвыборок имеет вид
Pi(x7. е, ф)= П pij<Xj7j, ej, ф), (6.60)
где Pij(xj\yj, 8j, ф,)-соответствующая плотность для j-u подвы-борки. При отсутствии сигнала параметры yj и у равны нулю.
Рассматриваемые задачи инвариантны относительно групп Gj, соответствующих преобразованиям масштаба в каждой из выборок, удовлетворяющим теоремам Хаита - Стейна, допускают решение несколькими методами (см. § 6.1, 6.2 из [27]): методом отыскания наименее благоприятного распределения для подобного максиминного решающего правила (соответствующего ViYoj); методом редукции к максимальному инварианту в. пространстве достаточных статистик для исходной задачи (при Уз=уоз) и вычислением отношения правдоподобия для максимального инварианта; методом отыскания отношения правдоподобия для пары
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95