Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

Корреляционные непараметрические тесты могут применяться мдаче регрессии (авторегрессии), частным случаем которой яв-1.11ЧСЯ задача тренда. Наличие изменяющегося сигнала приводит 1 ренду в выборке. Например, при перемещении луча антенны 1>.диолокационной станции амплитуда отраженного сигнала изменяются за счет модуляции диаграммой направленности. Задача об-(ыружения сводится к решению вопроса о наличии тренда в вы-Оорке - монотонного ее изменения. Для этого могут быть исполь-юваны тесты ранговой корреляции, характеризующие степень корреляции выборочных значений.

Тест ранговой корреляции Спирмена р [1] использует статистку, являющуюся оценкой корреляции между номером i наблю-/1СНИЯ Xi и его рангом Ri

S=Vii?i. (8.20)

Тест ранговой корреляции Кендалла т [1] использует статистку

S="e 2 h{xt-xj). (8.21)

t=i i=i+i

Пели сигнал увеличивается (уменьшается) во времени, то сравнение каждого tVro наблюдения с j-u в среднем дает малую (большую) величину статистики S, которая испытывается на порог. При )тсутствии тренда распределения статистик (8.20) и (8.21) не за-нисят от распределения отсчетов, что обуславливает непараметричность тестов.

Корреляционные непараметрические методы применяются для проверки гипотезы о независимости двух случайных величин х и I/, представленных своими выборками Xi,X2,...,Xn и УиУ2,-,Уп [1]. !1сли ведется обнаружение сигнала, который может присутствовать одновременно в двух каналах (разнесенный прием), то при его отсутствии отсчеты помехи в этих каналах х и у статистически независимы. Когда сигнал присутствует, возникает статисти-1еская связь между ними.

Коллектор совпадения полярностей, являющийся обобщением на двумерный случай знакового алгоритма, использует статистику

(8.22)

10, 2<0.

Нетрудно видеть, что вероятность а ложного отклонения гипотезы I) независимости х и у для любых симметричных распределений

•Zhixtytr, h{z) =

* Возможна запись статистики в виде Г - 2 Sgn (X,) Sgn



помехи с нулевым средним определяется тем же соотношением (8.10), что и для знакового теста. Отсюда следует непараметрич-ность статистики (8.22).

Тест ранговой корреляции Спирмена р в двумерном случае использует статистику, называемую коэффициентом ранговой корреляции

S=i:R.,Ry, (8.23)

где Rx и Ry -значения рангов отсчетов Хг и Уг в соответствующих выборках.

Тест ранговой корреляции Кендалла т использует статистику ,

S = "s i h{x,-x,)h{yi-yj). (8.24)

,=1 ,=,+1

Упомянем также тест Ван-дер-Вардена, использующий статистику

it, \n+U \n + 2)

Количественной мерой сравнения качества двух тестов служит коэффициент относительной эффективности одного (1-го) по сравнению с другим (2-м):

(8.25)

где через Пг (/=1, 2) обозначено наименьшее число наблюдений, необходимое для того, чтобы i-й тест обеспечивал вероятность Di правильного принятия альтернативы Ну при вероятности ai ложного отклонения гипотезы Яо и заданном «расстоянии» d между гипотезами.

Вычислить это отношение для произвольных аь D\, Яг и Яо весьма сложно. Вычисления удается проделать лишь при неограниченном возрастании rii и «2, когда статистики сравниваемых тестов нормализуются Однако при неограниченном возрастании п\ и П2 для состоятельных тестов вероятность Чтобы она остава-

лась постоянной при п\, птоо, необходимо, чтобы одновременно <фасстояние» между гипотезами стремилось к нулю. Таким образом, имеем коэффициент асимптотической относительной эффективности (АОЭ) первого теста относительно второго

81.2 = Иш ".aiii, л„ п, ОО d -> О (Я, -> Яо). (8.26)

Неограниченное увеличение числа наблюдений и связанное с этим стремление Hi к Яо соответствует обнаружению слабых сигналов В частности, для нормальной альтернативы сдвига «расстояние» d определяется отношением сигнал-помеха, поэтому стрем- ление его к нулю означает стремление к нулю значения сигнала.; 166 I



\i имптотическая относительная эффективность любого обнаружи-

Ii 1я по сравнению с оптимальным всегда меньше единицы. Отклонение АОЭ от единицы служит мерой качества обнаружителей для i 1ссматриваемых условий. В то же время для некоторых других

III и Яо, при которых второй тест оказывается неоптимальным, \ОЭ может превысить единицу.

Пусть проверяется гипотеза Яо о параметре распределения 1=0 (например о - отношение сигнал-помеха) против альтерна-111ВЫ Hi: а>0. Если ограничиться асимптотически нормальными 1атистиками, то при выполнении некоторых условий регулярно-(и, накладываемых на них, АОЭ можно выразить через отношения эффективностей бь бг тестов в виде [38]

ei.2 =-. fig

эффективность 1-го теста определяется, как

ej = lira -

(да)"

(8.27)

le k - номер первой, отличной от нуля производной; M{sx\a), (5j I а) - математическое ожидание и среднеквадратическое от-юнение статистики (-го теста. Обычно k = l.

В ряде работ приводятся значения коэффициента АОЭ для раз-1ИЧНЫХ непараметрических процедур различения гипотез по i авнению с параметрическими оптимальными.

Значение АОЭ знакового теста (8.7) или (8.8) при обнаруже-1ИИ постоянного положительного сдвига (сигнала) в гауссовской омехе по сравнению с линейным накопителем отсчетов, оптимальным для этого случая, составляет 0,64. В то же время при поме-t с распределением Лапласа знаковый обнаружитель оказывает-я оптимальным, он лучше линейного накопителя в 2 раза, т. е. 2 При помехе с равномерным распределением е=1/3. Для ракового алгоритма Вилкоксона (8.12) или (8.13) в тех же услови-\ АОЭ составляет ЗМ«0,955, * т. е. РО лишь незначительно усыпает линейному накопителю. Грубо говоря, ранговому тесту тре-.\ется 32 наблюдения, в то время как линейному - 30.

Доказывается, что при самом неблагоприятном распределении юмехи и альтернативе сдвига АОЭ теста Вилкоксона по отношению к /-тесту Стьюдента не может быть меньше 0,864 [1]. В то ive время для лапласовокой помехи е=1,5. Асимптотическая эф-I ективность рангового теста Вилкоксона (Майна - Уитни) по от-юшению к /-тесту при альтернативе сдвига выше, чем у тестов ти-1 Колмогорова - Смирнова, Реньи, Мизеса (8.1) - (8.4), (8 6). I 1к, при нормальной помехе АОЭ теста Колмогорова - Смирнова )ставляет 0,65 Тесты Ван-дер-Вардена (8.14) или (8 15) при ормальной альтернативе сдвига имеют эффективность, равную

В двухвыборочном варианте расчет е производится при т-оо.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95