Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

Оперативная характеристика L{q) обнаружителя определяется выражением (9.13), в котором h(v) является корнем уравнения (9.6), т. е.

г=>0

i Jl «+l iJo V r-i-v+i j

= 1. (9.22)

Среднее число наблюдений определяется соотношением (9.14), в котором с учетом (9.13) математическое ожидание логарифма ОП

fin 1

L Р{г\\) J

2 ln(l

«=0

Л>1-1

- п7

V- I

4-lnvi

(9.23)

Ha рис. 9.5 приведены примеры рассчитанных по этой методике зависимостей D{y) и n(v).

Аппроксимация (9.17), как указывалось, является точной для распределений (8.39) и (8.41). Действительно, ФР, соответствующие плотностям (8.39) и (8.41), равны:

0(л;) = 1-ехр(-х2/2), хО;

f (;с) = 1-ехр[-x2/2(l-f9)], хО.

Из этих выражений видно, что G(х) и /"(л:) удовлетворяют соотношению (9.17), в котором параметр р= 1/(1-1-9).

Таким образом, процедура, использующая для вычисления ОП аппроксимацию (9.17), является оптимальной при обнаружении быстрофлуктуирующего сигнала на фоне рэлеевской помехи.

Нетрудно показать, что (9.17) имеет место и при работе по квадрату огибающей, т. е. в случае квадратичного детектирования.

0,8 0,6 0,4 0,2

1,5 ~1 1-2,0 /и,=3,0

а,=10-

Л,0,9

3 а)

100 80 60 kO 20

-а,10-

jj,=os

i,=2,0

т = 15

Ш да-Г"---

3 Б)

Рис. 9.5. Зависимости вероятности обнаружения (а) и среднего числа наблюдений (б) рангового обнаружителя от параметра ©



с учетом (9.17) интеграл в (9.33) представим через гамма-функцию, а распределение ранга записывается в виде

п / I \ I т\ Г{/-)Г(

т + ц+г-1)

:т+х-1) {т - г){т - г-\- \)..т

(9.24)

(т-г - 1 +ц)(т -r + n)...(m-f(j,) Откуда ОП вычисляется следующим образом:

Л (г) = fx" (т + 1)" ft -{т-п)(т-п+1)..т-

.ii (m-rj-l+n){m-a-l-x)...(m + n)

= (т+1)"пЛ:. (9.25)

Выражения (9.24) и (9.25) можно представить в другой форме - в виде соотношений (8.44) и (8.47). При реализации обнаружителей вычислитель решающей статистики целесообразно выполнять в виде ПЗУ, где записаны заранее рассчитанные значения Mi(Mi) или их логарифмы.

9.4. Бинарный ранговый обнаружитель

Как показано в § 8.6, ранговая бинарная процедура обнаружения незначительно уступает правилу, основанному на сумме рангов. Относительно высокая эффективность бинарного РО Неймана - Пирсона позволяет предположить и хорошее качество последовательной бинарной ранговой процедуры. При бинарном квантовании рангов значительно упрощаются вычисление ОП (для квантованной последовательности), а следовательно, и реализация обнаружителя. Кроме того, в условиях априорной неопределенности при бинарном квантовании значительно упрощается ддаптация обнаружителя (см. § 9.9).

Из выражения для ОП ранговой бинарной процедуры (8.63) непосредственно следует алгоритм последовательного обнаружителя [90]

.1пВй1пЛ(кп)= 2

Ajj 1п - (1 - ki) In

Рх

i=l L Ро 1 - Ро

In Л, (9.26)

где р,=Р(гг>С,Я1); po = P(r,>CiЯо) = С, - порог ква-

т-\-\

нтования; Л и В - пороги, определяемые (9.2); ki=0,\.

Из (9.26) следует, что «расстояние» между гипотезой и альтернативой определяется лишь параметром pi независимо от распределения помехи. Очевидно, что все сказанное выше относительно свойства непараметричности РО остается справедливым и в этом случае.



среднее число наблюдений n(pi) й оперативная характеристика iLjpi) зависят от порога квантования Сь В связи с этим возникает задача выбора оптимального в смысле минимума п значения Сюпт при заданных ai, Di и расчетном значении рь Определение Сюпт в общем случае аналитически не представляется возможным. Поэтому Сюпт может быть найдено по результатам расчета п для различных значений С].

Оперативная характеристика (9.5) с учетом зависимости от Ci имеет вид

i(/i,Q) =

Mp..C,) £ft(P..C,)

где h(pi, Ci) - корень уравнения

P{ki,Ci\Po) J

Отсюда следует к MP., с.)

+ (1-

Pi)

/, ,;(p..c.)

= 1.

(9.27)

\ 1 - Po /

Среднее число наблюдений, зависящее от порога Ci, определяется соотношением (9.8), которое в данном случае запишется в виде

л(р„С)= Ml-L(PfCi)] + \nBL{p,Ci) MllnP(ki,Cilpi)/P(ki.Ci{Po)] где математическое ожидание

М[\п {P{kr,C,\p[)lPiki,C,\po)}] =

= Piln - +(1-Pi)ln

Ро 1-Ро

На рис. 9.6 приведены зависимости п от порогового уровня Ci, а на рис. 9.7 - зависимости D{q) и n{q), рассчитанные для распределений (8.39), (8.40) - сплошные линии и (8.41) - штриховые. При расчетах сначала определяются по (8.43) или (8.44) и {8.69) значения вероятностей pi для расчетного отношения сигнал-

Рис. 9.6. Зависимости среднего числа наблюдений бинарного рангового обнаружителя от порогового уровня Cl

п 3D

20 W

а,=Ю 1=0,9 q.r!,5 т=2В

С, 221



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95