 |
 |
 |
 |
Оперативная характеристика L{q) обнаружителя определяется выражением (9.13), в котором h(v) является корнем уравнения (9.6), т. е.
г=>0
i Jl «+l iJo V r-i-v+i j
= 1. (9.22)
Среднее число наблюдений определяется соотношением (9.14), в котором с учетом (9.13) математическое ожидание логарифма ОП
fin 1 | ||
L Р{г\\) J |
2 ln(l
«=0
Л>1-1
- п7
V- I
4-lnvi
(9.23)
Ha рис. 9.5 приведены примеры рассчитанных по этой методике зависимостей D{y) и n(v).
Аппроксимация (9.17), как указывалось, является точной для распределений (8.39) и (8.41). Действительно, ФР, соответствующие плотностям (8.39) и (8.41), равны:
0(л;) = 1-ехр(-х2/2), хО;
f (;с) = 1-ехр[-x2/2(l-f9)], хО.
Из этих выражений видно, что G(х) и /"(л:) удовлетворяют соотношению (9.17), в котором параметр р= 1/(1-1-9).
Таким образом, процедура, использующая для вычисления ОП аппроксимацию (9.17), является оптимальной при обнаружении быстрофлуктуирующего сигнала на фоне рэлеевской помехи.
Нетрудно показать, что (9.17) имеет место и при работе по квадрату огибающей, т. е. в случае квадратичного детектирования.
0,8 0,6 0,4 0,2
1,5 ~1 1-2,0 /и,=3,0 | |||
а,=10- | |||
Л,0,9 | |||
3 а)
100 80 60 kO 20
-а,10- | jj,=os i,=2,0 | |||
т = 15 | ||||
Ш да-Г"--- | ||||
3 Б)
Рис. 9.5. Зависимости вероятности обнаружения (а) и среднего числа наблюдений (б) рангового обнаружителя от параметра ©
с учетом (9.17) интеграл в (9.33) представим через гамма-функцию, а распределение ранга записывается в виде
п / I \ I т\ Г{/-)Г(
т + ц+г-1)
:т+х-1) {т - г){т - г-\- \)..т
(9.24)
(т-г - 1 +ц)(т -r + n)...(m-f(j,) Откуда ОП вычисляется следующим образом:
Л (г) = fx" (т + 1)" ft -{т-п)(т-п+1)..т-
.ii (m-rj-l+n){m-a-l-x)...(m + n)
= (т+1)"пЛ:. (9.25)
Выражения (9.24) и (9.25) можно представить в другой форме - в виде соотношений (8.44) и (8.47). При реализации обнаружителей вычислитель решающей статистики целесообразно выполнять в виде ПЗУ, где записаны заранее рассчитанные значения Mi(Mi) или их логарифмы.
9.4. Бинарный ранговый обнаружитель
Как показано в § 8.6, ранговая бинарная процедура обнаружения незначительно уступает правилу, основанному на сумме рангов. Относительно высокая эффективность бинарного РО Неймана - Пирсона позволяет предположить и хорошее качество последовательной бинарной ранговой процедуры. При бинарном квантовании рангов значительно упрощаются вычисление ОП (для квантованной последовательности), а следовательно, и реализация обнаружителя. Кроме того, в условиях априорной неопределенности при бинарном квантовании значительно упрощается ддаптация обнаружителя (см. § 9.9).
Из выражения для ОП ранговой бинарной процедуры (8.63) непосредственно следует алгоритм последовательного обнаружителя [90]
.1пВй1пЛ(кп)= 2
Ajj 1п - (1 - ki) In
Рх
i=l L Ро 1 - Ро
In Л, (9.26)
где р,=Р(гг>С,Я1); po = P(r,>CiЯо) = С, - порог ква-
т-\-\
нтования; Л и В - пороги, определяемые (9.2); ki=0,\.
Из (9.26) следует, что «расстояние» между гипотезой и альтернативой определяется лишь параметром pi независимо от распределения помехи. Очевидно, что все сказанное выше относительно свойства непараметричности РО остается справедливым и в этом случае.
среднее число наблюдений n(pi) й оперативная характеристика iLjpi) зависят от порога квантования Сь В связи с этим возникает задача выбора оптимального в смысле минимума п значения Сюпт при заданных ai, Di и расчетном значении рь Определение Сюпт в общем случае аналитически не представляется возможным. Поэтому Сюпт может быть найдено по результатам расчета п для различных значений С].
Оперативная характеристика (9.5) с учетом зависимости от Ci имеет вид
i(/i,Q) =
Mp..C,) £ft(P..C,)
где h(pi, Ci) - корень уравнения
P{ki,Ci\Po) J
Отсюда следует к MP., с.)
+ (1-
Pi)
/, ,;(p..c.)
= 1.
(9.27)
\ 1 - Po /
Среднее число наблюдений, зависящее от порога Ci, определяется соотношением (9.8), которое в данном случае запишется в виде
л(р„С)= Ml-L(PfCi)] + \nBL{p,Ci) MllnP(ki,Cilpi)/P(ki.Ci{Po)] где математическое ожидание
М[\п {P{kr,C,\p[)lPiki,C,\po)}] =
= Piln - +(1-Pi)ln
Ро 1-Ро
На рис. 9.6 приведены зависимости п от порогового уровня Ci, а на рис. 9.7 - зависимости D{q) и n{q), рассчитанные для распределений (8.39), (8.40) - сплошные линии и (8.41) - штриховые. При расчетах сначала определяются по (8.43) или (8.44) и {8.69) значения вероятностей pi для расчетного отношения сигнал-
Рис. 9.6. Зависимости среднего числа наблюдений бинарного рангового обнаружителя от порогового уровня Cl
п 3D
20 W
а,=Ю 1=0,9 q.r!,5 т=2В | |||
С, 221
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95