 |
 |
 |
 |
ца, решающее правило (6.14) эквивалентно известному в математической статистике одностороннему /-критерию Стьюдента, который является равномерно наиболее мощным критерием среди всех подобных критериев с фиксированйым размером («=const= =ао) относительно альтернатив v>0 i[65].
Отметим также, что правило (6.14) ори неизвестной v одновременно является и правилом отношения (максимального) правдоподобия для альтернатив вида Нй у>0.
Обнаружение детерминированного сигнала при ограниченной вероятности ложного обнаружения. Пусть Qi и Qo определяются (6.3) и (6.5). Тогда задача обнаружения остается инвариантной относительно группы G изменений масштаба gQ (преобразований масштаба) выборочного пространства
х-=рх, р>0. (6.16)
Действительно, семейства плотностей вероятностей задачи (6.8) и (6.9) удовлетворяют условиям инвариантности [27], причем преобразованию масштаба (6.16) с коэффициентом р соответствует индуцированное в параметричесрсом пространстве преобразование масштаба
e-ge=pe. (6.17)
Кроме того, группа G преобразован»1й gQ (6.17) параметрического пространства, индуцируемая группой G преобразований выборочного пространства, оставляет иявариантными контролируемые при оптимизации области параметров задачи Qi и Q.
Среди инвариантных относительно G правил находится и искомое минимаксное правило (аао), совпадающее с минимаксным среди правил, инвариантных относительно группы G [65]. В данном случае любое инвариантное относительно О правило является подобным и, следовательно, искомое минимаксное правило для (6.3) при условии асо эквивалентно подобному минимаксному правилу (6.14), являющемуся единственным равномерно наиболее мощным G-инвариантным правилом.
Аналогичный вывод можно сделать исходя из того, что в про-странстве достаточной статистики [65] для параметров У\1г и 1/е, а следовательно, и для v и е
и=хГА-а и /=хА-х (6.18)
максимальным инвариантом относительно G является одномерная статистика с монотонным отношением правдоподобия
Z{u,t)=ufVl, (6.19)
Корадо В. А. Об оптимальном обнаружении сигналов на фоне помех с неизвестными параметрами при ограниченной вероятности ложной тревоги Ра-диотехника и электроника. - 1970. - Т. 15, № 7.- С. 1419-1427.
приводящая к (6.14) Ч Действительно, в соответствии с определением максимального инварианта [65] статистика (6.19) постоянна на любой траектории в пространстве достаточной статистики [в чем можно убедиться подстановкой в (6.18) и (6.19) х=Ях1 и на разных траекториях принимает разные значения.
Минимаксное решающее правило (6.14) при неизвестной интенсивности сигнала v и ограниченной вероятности ложного обнаружения может быть получено и из общего выражения для минимаксных правил (3.54) из [27] с плотностями наименее благоприятных распределений для альтернативы и гипотезы вида
Wi(Q)=Wi{y, e)=ke-6{y-yo) (6.20)
Wo{e)=ke-, (6.21)
а также другими методами вычисления отношения правдоподобия максимального инварианта. Здесь б - дельта-функция.
Помимо рассмотренных здесь случаев нетрудно получить оптимальные минимаксные решающие правила и для обнаружения детерминированных сигналов с неизвестной детерминированной или случайной полярностью с равновероятными значениями В этом случае при известной, неизвестной или случайной интенсив-ностях сигнала v минимаксное подобное правило (6.14) заменяется на
xA-aI>C(xiA-x)i/2. (6.22)
Минимаксное правило с ограниченной вероятностью ложного обнаружения (асо) при неизвестном v совпадает с (6.22).
В случае неизвестных интенсивности и полярности сигнала рассматриваемая задача обнаружения является инвариантной относительно группы G = GiXG2, где О, - группа изменений масштаба, а Gg - группа одновременных изменений знака всех составляющих X. Будучи равномерно наиболее мощным G-инвариантным, правило (6.22) остается минимаксным и при случайном v>>0 с неизвестным законом распределения, а также с известным законом распределения, но с неизвестной интенсивностью v=Mv для Hi:
Структурные схемы обнаружителей. Схемы обнаружителей детерминированных сигналов, реализующие оптимальные решающие правила (6.14) и (6.15), приведены на рис. 6.2 и 6.3. Схемы состоят из двух каналов обработки. Основные каналы содержат блоки вычисления линейных форм, соответствующие линейным согласованным фильтрам, и схемы сравнения с переменным порогом. Порог автоматически регулируется по результатам
• Для оценок V и 6 достаточно знание значений и п t. Никакие другие функции X не могут повысить точность лучших оценок, основанных на ы и Л Максимальным инвариантом в математической статистике называется в общем случае векторная функция входной выборки наибольшей размерности, инвариантная относительно преобразований g из группы G.
<
Дп Нет
>0
Рис. 6.2. Структурная схема оптимального обнаружения детерминированного сигнала
Рис. 6.3. Структурная схема оптимального обнаружения сигнала с неизвестной фазой
вычисления квадратичных форм. Структурная схема, соответствующая правилу (6.15), не содержит операции извлечения корня, что упрощает ее реализацию.
Оптимальные правила и соответствующие структурные схемы могут быть дополнительно развернуты применением вспомогательного невырожденного линейного преобразования.
v = Bx, (6.23)
одновременно приводящего нормированные корреляционные матрицы помехи А к единичной матрице
а нормированный вектор сигнала а к единичному вектору
ау = Ва=1/це, е=(1. О,..., 0).
Преобразованный вектор сигнала при этом
(6.24) (6.25) (6.26)
Sv=Bs= Kp-ve, а его энергия с учетом (6.1), (6.24) и (6.25)
svSv ==pv=srBBs=varA-a, откуда находим
=аА-1а. (6.27)
Относительно преобразованной выборки v правило (6.14) с учетом вытекающих из (6.24) и (6.25) соотношений
хА-а= 1 xTA"x=vrv ™
принимает вид
vrav>C(vv)/ или
d,>C,(Ed2,)i/2, С, = С "р. (6.28)
Структурная схема правила (6.28) с учетом (6.23) приобретает вид, приведенный на рис. 6.4. Отметим, что если вектор е выбрать в виде е=(1, 1), то в (6.28) Vi заменится на \=n-Evi.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95