Запорожец  Издания 

0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95


Рис. 1 1. Интегральная кривая распределения вероятности (а) и плотность вероятности (б)

Очевидно, что

оо -оо

Если все возможные величины I лежат в пределах Xi... х, то

(л:) dx= 1. «1

На рис. 1.1 приведены кривые интегральной функции распределения G{x) и плотности вероятности w{x). Общая площадь под кривой W (х) всегда равна единице. Вероятность того, что значения непрерывной случайной величины g находятся в интервале Xi... Xz, равна заштрихованной площади на рис. 1.1,6. Для дискретной случайной величины функция G(x) не дифференцируема. Однако, используя понятие б-функции b(x)=d{u{x)ydx, где «(x) = l при л:0 и u{x)=Q при лгО, можно распространить понятие плотности вероятности и на дискретную случайную величину [1, 3]: Для дискретной случайной величины

г11}{х)=ЪргЬ {x-Xj).

Здесь b{x-Xj) - 6-функция от {х-х,), а рг=Р{1Хг] - вероятность того, что случайная величина равна значению Хг-

1.3. Моменты случайной величины

Законы распределения дают исчерпывающую характеристику случайной величины. Однако такая характеристика не всегда является необходимой. В некоторых случаях достаточно определить случайную величину несколькими числовыми параметрами. При этом удобно ввести понятие моментов.

Различают начальные и центральные моменты случайной величины. Общее выражение для начальных моментов -го порядка непрерывной случайной величины

]xw{x)dx. (1.7)

Для дискретной случайной величины ти{1}= Д ргХЧ

Число k называют порядком момента случайной величины. Важное значение имеет начальный момент первого порядка, представ-



ляющий собой математическое ожидание случайной величины mi{} при k=l:

<десь, а также в дальнейшем знак М{-} означает операцию усреднения величины, стоящей в скобках.

Как указывалось, w(x)dx есть вероятность того, что величина I лежит в бесконечно малом интервале 1=х ...,=x-\-dx. Поэтому fih{S} есть интегральная сумма для произведений значений непрерывной случайной величины Х{ на соответствую.щие вероятности н является некоторым ее средним значением, которое обозначим через

оо

x = mi{l}= jxw (х) dx.

Для случайной величины, принимающей ряд дискретных значений.

Если все значения равновероятны и равны то - 1 "

1. е. получаем среднюю арифметическую величину.

Так как x=mi{} не может характеризовать степень сосредо-юченности I около своего среднего значения, то необходимо ввести понятие центральных моментов, которые определяют разброс случайной величины.

Общее выражение для центральных моментов непрерывной случайной величины

иЛ5}=МЛЕ-т1Ш= ]{x-xyw{x)dx. (1.8)

Для дискретной случайной величины

.®=2(ё-)А-. (1-9)

Центральный момент второго порядка, характеризующий отклонение случайной величины от своего среднего значения при s=2, называют дисперсией. Положительное значение квадратного корня из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение

В задачах, относящихся к одной случайной величине, математическое ожидание nti и дисперсия (или среднее квадратическое отклонение) в значительной части случаев достаточно полно ха-



рактеризуют случайную величину. Математическое ожидание определяет центр рассеивания, а дисперсия является мерой рассеивания случайной величины. В тех случаях, когда математическое ожидание и дисперсия недостаточны для того, чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо использовать начальные и центральные моменты более высоких порядков.

Применительно к радиотехническим цепям, в которых действуют электрические флуктуации, величина rni{}=x определяет среднее значение тока или напряжения, т. е. постоянную составляющую, а о - «эффективное» значение переменной составляющей тока или напряжения. В ряде случаев удобно относить мощность к единичному сопротивлению цепи; при этом величина D{x}=a равна мощности шумов.

1.4. Двумерное распределение

До сих пор рассматривалось одномерное распределение, для которого статистические характеристики случайной величины зависят только от одной переменной. Одномерное распределение позволяет получить статистические данные о вероятности того или иного значения рассматриваемой случайной величины, однако при этом остается неизвестным, как эти возможные значения случайной величины связаны со шкалой времени.

Следующий шаг можно сделать, рассматривая некоторые пары значений случайной величины, например пары значений напряжения или тока, разделенные определенным интервалом времени т. Здесь имеет место случай двумерного распределения. При этом статистические характеристики случайной величины определяются двумя переменными и т], которые в общем случае зависят друг от друга. Может быть распределение и более высокого порядка, однако часто на практике достаточно ограничиться двумерным распределением. Для двумерного распределения произведение w{x, y)dxdy определяет вероятность того, что значение случайной величины g лежит в бесконечно малом интервале х, х-\-+-dx, в то время как значение случайной величины т) - в бесконечно малом интервале (у, y-\-dy). Величину W2(x, у) называют плотностью вероятности двумерного распределения.

Вероятность того, что значение лежит в пределах Xi... Хг, в то время как значение т) - в пределах yi... уг, /

P(xi<l<X2, y,<n<y:i)=-]]Ax. y)dxdy.

Xi У,

Очевидно, что должно выполняться условие

ос оо

J j&yg(x, y)dxdy== 1.

-ос оо

Если проинтегрировать w{x, y)dxdy по всему интервалу возможных значений т), то получим некоторую величину aii {х), рав-



0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95