Запорожец Издания
Как видно, правила (6.37), (6.41) и (6.43)-(6.46) отличаются от правила Неймана - Пирсона для обнаружения аналогичных сигналов на фоне гауссовской помехи с известной интенсивностью лишь переменным, автоматически регулируемым уровнем порога, который, по существу, определяется оценкой мощности помехи по принятой входной выборке. На рис. 6.10 дается пример геометрического вида области решения правил (6.41), (6.44) при п=2, а= (1, 0) и A==0,5l2. Вектор сигнала расположен в плоскости х2=0. Решающая область правила Неймана - Пирсона при известной интенсивности помехи в этом случае имеет вид области xiC2, расположенной вне прямого кругового цилиндра с осью Xi = 0. Решающая область xiCa:2 заключена под конусом. Из рисунка видно, как своеобразный характер решающей области обеспечивает подобие оптимального правила (а=const) и его эффективность при любом ф. Характеристики обнаружения кв азидетер м и-нированных ВЧ сигналов с неизвестной начальной ф а 3 о й. Рассмотрим инвариантные статистики минимаксного правила (6.37) Z=x*A-ial У х*А-1х (6.47) и его преобразованного эквивалента (6.44) Zii-iZ=\Vr\Vi\. (6.48) В отсутствие полезного сигнала случайные величины 8~4Vil независимы и имеют х2-распределение с двумя степенями свободы, а при наличии сигнала величина e~4i имеет нецентральное распределение %h{q) с параметром нецентральности ?=ЦТ. где р = а*А~*а, f =v/8. В результате Z при наличии сигнала с детерминированной интенсивностью имеет нецентральное бета-распределение со степенями свободы 2 и 2п-2, параметром нецентральности q==ixy и плотностью Здесь есть плотность бета-распределения со степенями свободы 2к + 2 и 2п-2. Следовательно, вероятность правильного обнаружения ква- Дмитриенко А. Н., Корадо В. А. Характеристпки обнаружения когерентной пачки импульсов со случайной начальной фазой на фоне гауссовской помехи с неизвестной интенсивностью Радиотехника и электроника - 1968 - Т 13, № 12. - С. 2245-2246. зидетерминированного сигнала можно определять по таблицам нецентрального бета-распределения или по формулам D=D(Y. Q = /,(2)dZ = = е-«/= i (kl)- (9/2)*/с. (2ft+ 2. 2n- 2). где /3c(vi, V2)-неполная бета-функция, a Ci - пороговый коэф--фициент правила (6.44). При отсутствии сигнала =0 и статистика Z распределена по закону Wo(Z)=Bi. n-i(2) = (n-1) (1-2) так, что для вероятности ложного обнаружения a = a(Ci)= K(Z)dZ = /ci(2,2n-2) = (l-Ci)"-. (6.50) Так как правило (6.44) эквивалентно правилу il/ilCS и, следовательно, правилу 2>С, где r=fl,fV2 fPih C=C,/(1-C.), TO характеристики обнаружения рассматриваемого вида сигнала могут быть получены и по таблицам функции мощности нецентрального /"-распределения с параметрами Vi = 2 и V2=2«-2, причем а(С) = 1/(1 + С)"-. (6.51) Таблицы нецентральных бета-распределений недостаточно обширны, поэтому представляют интерес конкретные вычислительные формулы для вероятности правильного обнаружения. Можно показать, что в рассматриваемом случае D может быть представ» лено в виде конечного ряда D=l-C(l + C)-exp-9(i+c) S {l+C)-F\(-k, 1, ft=0 -Cq/{l+C)), (6.52) q = nv/e=ny. При больших значениях n DQXV2C;, УЩ), (6.53) Q(u, v) = ] texp[-0,5(v + t)]lo{vt)dt 4-186 g-R - интеграл вероятностей Рэлея - Раиса. Кроме того, при п-оо ае~<" и (6.53) переходит в соответствующее выражение для характеристики обнаружения сигнала с неизвестной фазой на фоне гауссовской помехи с известной интенсивностью [72]. На рис. 6.11 при а=10~* и различных п представлены кривые обнаружения. Кривая п=оо является одновременно кривой обнаружения в случае известной интенсивности помехи для произвольных п. На рис. 6.12 для D = 0,2... 0,9 и а=10-4 представлена зависимость потерь в пороговом сигнале т] (по сравнению со случаем оптимального обнаружения на фоне помехи с известной интенсивностью) от п. Эти потери определяются соотношением т] = = 10 lg(9„/9oo), где Qn и - пороговые отношения сигнал-помеха Ё случае помехи с неизвестной и известной интенсивностямн соответственно. Как видно, при «>20 потери не превышают 1 дБ. При малых п потери в пороговом сигнале, связанные с необходимостью нормировки статистики \Vi\ в формуле (6.48) на грубую в этом случае оценку неизвестной интенсивности помехи, могут возрастать до десятков децибел. Приведенные выше характеристики, очевидно, не изменяются при обнаружении теми же правилами сигнала со случайной начальной фазой с произвольным законом ее распределения. Для сигнала с равномерным распределением начальной фазы эти характеристики по-прежнему определяют потенциальные возможности обнаружения на фоне гауссовской помехи с неизвестной ин-тенсиь остью. При обнаружении сигнала с равномерно распределенной начальной фазой и случайной, распределенной по закону Рэлея амплитудой, для которого рассмотренные выше минимаксные правила со статистиками (6.47) и (6.48) также оптимальны, статистика Vi при наличии сигнала распределена, как и при его отсутствии, по нормальному законупричем \yi\l(q+l)e имеет xVpacпpeдeлeниe. Здесь д=цу, v=v/e, где v - математическое Рис. 6.11. Характеристики обнаружения сигнала со случайной фазой при а=10- Рис. 6.12. Зависимость потерь в пороговом сигнале от п при 0=0,5-0,9 и а=10-* и 6 8!0 го Ю 60 п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
|