 |
 |
 |
 |
.92 соответствует переходу от сложной гипотезы к простой. Равновероятное распределение рангов приводит к тому, что при гипотезе о в сомножителе P(ri\Hi) выражения (8.36) при любой G{x) будут фигурировать одни и те же (в статистическом смысле) значения рангов и, следовательно, результат вычисления S по (8.36) не изменится. В то же время порог С найден из распределения статистики P{S\Ho), которое выражается через расчетные G{x) и F{x)- Поскольку результаты опыта (значения рангов) не зависят от помехи, а вычисление S основано на использовании тех же G(x) и F{x), вероятность ложного обнаружения а окажется равной расчетной. Таким образом, обнаружитель (8.36) обладает свойством непараметричности.
Отклонение ФР G{x) и F(x) от расчетных приводит только к отклонению вероятности правильного обнаружения D от расчетной. Но изменение D для ранговых ОП обнаружителей происходит в меньшей степени, чем для обычного параметрического [42, 47], т. е. РО более устойчивы по своим характеристикам. Таким образом, с 5Д1етом свойств непараметричности, устойчивости и сравнительно высокой эффективности синтез ОП РО имеет вполне определенный практический смысл.
Синтез обнаружителя разбивается на два этапа. На первом находится выражение для ОП по распределениям G{x) и F{x), на втором - распределение статистики ОП P(S\Ho) и значение порога обнаружения С по заданной оь Для анализа обнаружителя необходимо найти распределение статистики при альтернативе P(S\Hi) и по этому распределению и порогу С рассчитать вероятность обнаружения D из соотношения
D= Р{8\Н). (8.38)
S=C+l
Рассмотрим задачу синтеза оптимального некогерентного РО. Полагаем, что распределение помехи рэлеевское (нормальное до детектирования) с плотностью
£г;(л;) = 1 = ;сехр(-ад, x>0, (8.39) dx
распределение смеси сигнала с помехой райсовское (нефлуктуи-рующий сигнал) с плотностью
f(x)-xexp{-)lAxV2-g), х>0, (8.40)
распределение смеси быстрофлуктуирующего (от наблюдения к наблюдению) сигнала с помехой рэлеевское с плотностью
хО (8.41)
f{x)-exp 1 + 9
2(1+9) J либо с плотностью вида 4х
/() =
(2 + 9)2
1 + -]ехр(--],х>0, (8.42)
2(9 + 2) \2 + д)-
где X - нормированная к среднеквадратическому значению нормальной помехи огибающая; q = u/2fl - отношение сигнал-помеха; и - амплитуда сигнала; /о()-модифицированная функция Бесселя. /
Формулы (8.39)-(8.42) описывают распределения огибающей процесса, т. е. напряжения на въщЬде линейного детектора
Для этих моделей удается полз-чить выражения для ОП в явном виде. Определяя P(r\Hi) из соотношения (8.34) с учетом распределений (8.39) - (8.41), получаем [71] для нефлуктуирую-щего сигнала
P(r ,) = exp(-9)("U(-l)x
\ / 1=0
f М-1-ехр(--
\i)m-r-\-i+l \m-r+i +
И для флуктуирующего
Р{г\Нг) = -и{1-+ 1=0 \
)•
(8.43)
(8.44)
"1+1 ,"о\ т - г + { + ц где- число сочетаний из b по с, ix=l/{l + q). Аналогично можно получить выражение для модели (8.42)
р(гя,) = 4("\1:(-1)(М-
\ / .-=0 V I У [2
r+i+l
(8.45)
>+(2 + q)(m~r + i)]
Из (8.35) с учетом полученных выражений для ОП имеем соответственно
А (г) = (т-Ы)" ехр (- 9п) П ( ) 2 (- 1)X
[m-rj+i+l]
rj \ i
n г}
Л(г) = П in
j=l i=0 V
А(г) = (т+1)"П4(")2(-1)(:)
m + n + i+\ 1
m-rj + -\-i 1
(8.46) (8.47)
m-rH-«+ 1
t2+(2--<7)(m-O--0]
(8.48)
Перейдем ко второму этапу синтеза - нахождению порога обнаружения С. Часто задачу определения порога С по заданной вероятности ai решают с использованием нормальной аппроксимации распределения статистики S при достаточно большом п. Однако использование аппроксимации P{S\Ho) приводит к су-
В литературе распределения (8.40) - (8.42) иногда называют соответственно О, 2 и 4-й моделями Сверлиига.
псственным ошибкам для малых d (Ю ... 10"), которые обыч-ии имеют место на практике. Это связано с неудовлетворительном качеством аппроксимации на «хвостах» истинного (к тому 1.1 усеченного при ранговой статистике) распределения P{S\Ho) нормальным.
Функцию распределения статистики (8.36) определим отноше-irrieM
Р(5<СЯ„) = !1Ь.
1ле Лт,п(С)-количество векторов г= (п, гг, Гп), для которых справедливо неравенство SC; /V= (т--1)" - общее количество возможных векторов.
Введем обозначение - logP(r=/li) /е[0, т]. Для ФР (i(x) и F{x) величины 6; находятся из соотношения (8.33). Составим из значений bi вариационный ряд, расположив их в порядке возрастания
Ь(о)<Ь(1)< ... <Ь(ю< ... <;Ь(т)-
Зафиксируем С и найдем такое значение k{0, т-1], для которого nb{k)c, nb{k+l)>C.
Очевидце, ЧТ& CGlSmin, Smax), ГДе SmrrtJ?(D}, 8т.ах=пЬ{т) -
минимальное н максимальное значения статистики, [•) - полуинтервал.
Тогда, как показано в [62],
iV„. „ (О = ( + 1)" + Ц Hi") Nu+u „-. (С -,=0 i=i /
(8.49)
В этом рекуррентном соотношении Nm.n{C) выражается через fu.v{Cu,v), где t/<m, D<n.
Для распределения статистики из (8.49) окончательно имеем
X " 2 S ( " ) Nk+i, n-l (С - ihu+x+n).
При вычислениях по мере изменения / и i возможны следующие три случая в определении Nh+j,n-i{C-ibh+i+j) ).
1. Если для некоторых i и / оказывается, что
С-tb(fe+i+j)<0, то Nk+i,n-i{C-ibk+i+3))=0.
Очевидно, это имеет место преимущественно при больших t и /.
2. Если
С-(п-l)b(ft+3), то Nk+i,n-i{C-lb(k+i+})) = = (-Ы-}-/)"-.
Это имеет место преимущественно при малых i и /.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95