Запорожец Издания
оснований для того, чтобы считать, что при малом числе N входящих в смесь компонент она может быть применена для любого вида узкополосных негауссовских помех. Если формула (2.47), относящаяся к простейшему случаю смеси двух негауссовских компонент (т = 2), не дает хорошей аппроксимации исходной функции, то следует использовать более общее соотношение (2.41), выбирая значения т>2. В заключение рассмотрения полигауссовских моделей нужно отметить, что определенные вычислительные трудности, связанные с построением этих моделей, отражают объективную сложность анализируемой ситуации и не являются препятствием для проведения расчетов с помощью ЭВМ, имеющих высокую производительность. Разобранные в настоящей главе полигауссовские модели будут частично использованы в гл. 4 при анализе прохождения смеси сигнала и помех через линейные и нелинейные эле менты радиотехнической системы. 2.14. Другие модели помех В настоящей главе рассматривались модели гауссовских и негауссовских помех. Простые модели гауссовских помех позволяют использовать их при рассмотрении широкого круга проблем. Значительно более сложным является вопрос о моделях негауссовских помех. Последние могут быть узкополосными и широкополосными, стационарными и нестационарными, коррелированными и некоррелированными и могут иметь самые различные функции распределения. Кроме того, возможны имеющие важное практическое значение разнообразные комбинации различных видов помех. Поэтому достаточно полное рассмотрение возможных разновидностей негауссовских помех представляет собой весьма сложную задачу, выходящую за рамки настоящей книги. Выбор моделей конкретных видов негауссовских помех целесообразно выполнять в тех главах книги, которые посвящены алгоритмам обнаружения. Глава 3. СИГНАЛЫ 3.1 Предварительные замечания Сигналы, используемые в радиотехнических системах, представляют собой физическую величину, являющзтося функцией времени. Напряжение действительного сигнала обычно представляют в виде s{t)=A{t)cos[ioot+Q{t)]. (3.1> Здесь A{t) -огибающая сигнала; coo = 2jifo, где fo - несущая частота, а 9(0 - фаза сигнала. Важнейшими энергетическими характеристиками сигнала являются его мощность и энергия. Если s = s(t)-его напряжение или ток, то s{t) его мгновенная мощность на сопротивлении в 1 Ом. Для интервала времени ti... t2 энергия сигнала определяется интегралом от мгновенной мощности 9c=jst)dt. (3.2) 3.2. Спектральная плотность и энергия сигнала Допустим, что s{t) представляет собой регулярную функцию времени, удовлетворяющую условиям абсолютной интегрируемости, а также условиям Дирихле. Для функции s{t) преобразование Фурье S{f)= ]s{t)exp(-j(ot)dt; со = 2я/. (3.3) Функцию S(/) называют спектральной плотностью функции s{t). Энергию сигнала, определяемую соотношением (3.2), можно выразить через частотную функцию S(/), если воспользоваться равенством Парсеваля [33] 5,= Js2(/)d= JS(/)lM/ = 2JlS(/)Id/. (3.4) -оо -00 о Формула (3.4) показывает, что величина S(f) представляет собой энергию, отнесенную к 1 Гц частотной полосы. Эту величину называют спектральной плотностью энергии сигнала. В качестве примера определения энергии с помощью (3.4) найдем энергию прямоугольного одностороннего импульса, имеющего амплитуду Ао и длительность Т. Для такого импульса величина s{t) в пределах длительности импульса ti=-Г/2... 72 = 7/2 будет равна постоянной величине s(t)=Ao, а для всех значений t, лежащих вне интервала ... 2, s{t) =0. В соответствии с (3.3) спектральная плотность сигнала 00 г/2 S(/)= [sil)dt= Лоехр -j(iit)dt = -00 -г/2 = (-4 «)ехр(/(оО!У/2 = = (2Ло/(о) sin (to Г/2) = Ло X {sin (to Г/2)/((оГ/2)}. (3.5) На основании (3.4) и (3.5) энергия импульса = 2] IS (/) 12 d/ = 2 ][Ао т sin (to Г/2)]2 d «/2я. Обозначая соГ/2=л; и производя вычисления, получаем, что энергия прямоугольного импульса 5с=Л2оГ. (3.6) 3.3. Фзкция корреляции Проведенное в предыдущем параграфе рассмотрение некоторых характеристик сигналов основывалось на спектральном подходе. При решении многих задач оказывается удобным наряду со спектральными характеристиками использовать характеристики, определяющие изменение свойств сигналов во времени. Для этой цели широко применяют функции корреляции. Корреляционной функцией детерминированного действительного сигнала sit) при абсолютной интегрируемости этого сигнала, т. е. при условии его конечной энергии, называют функцию В(т)= J s{t)s{t+x)dt. (3.7) Формула (3.7) определяет степень корреляции между сигналом s{f) и его копией «(-Ьт), сдвинутой по времени на величину т. Функция В(т)является четной, т. е. В{х)= ] s(t)s{t-rx)dt= ] s{t)s{t-T)dt. (3.8) - оо -оо Зная функцию корреляции, можно непосредственно найти энергию сигнала, так как при т=0 В(0)= J st)dt = 9c. -too Корреляционная функция B{i) связана со спектральной плотностью энергии сигнала 5(/)2 преобразованиями Фурье: ]\S(f)\exp{~j2ф)dt, (3.9) \S{f)\= ] B(r)exp{j2nh)dr. (3.10) - оо При т=0 соотношение (3.9) определяет энергию сигнала Эе = В(0)= J \S{f)\4f. 3.4. Комплексное представление сигналов При математическом анализе часто оказывается удобным представлять временную функцию сигнала в комплексном виде. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
|