Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

нением с весами щ заданного числа q независимых случайных величин Zt типа белого шума:

х(= 2 TifeZf-ft, где т1о=1.

(7.8)

.Процесс (7.8) может быть сформирован нерекурсивным цифровым фильтром q-ro порядка, на вход которого подаются незави-

. симые отсчеты шума Zt.

Энергетический спектр дискретного процесса скользящего среднего (7.8) имеет вид [64]

sec И = So

- я; (О л.

(7.9)

где 8o=Mi[2ft2] - дисперсия независимых случайных величин с нулевым средним. Энергетический спектр (7.9) хорошо аппроксимирует узкие провалы в сплошном спектре, число которых достигает значения, равного порядку процесса скользящего среднего q. Представление (7.9) можно, например, использовать для описания спектра мощности мешающих излучений в заданной относительно широкой полосе частот загруженного диапазона радиоволн.

Для обеспечения стационарности (положительной определенности теплицевой эрмитовой матрицы ковариации) на параметры T)fe процесса СС, в отличие от параметров процесса АР, не требуется накладывать какие-либо ограничения [64]. Подставляя в выражение (7.5) для АР процесса вместо %t величину Xt процесса СС из (7.8), получаем смешанный процесс авторегрессии - скользящего среднего АРСС порядка (р, q). Дискретный процесс АРСС может формироваться рекурсивным цифровым фильтром, на вход которого подается процесс СС (7.8). Спектр мощности процесса АРСС

Sapcc(«) = so

1-2 rie-*-

1- 2 е„е->"»

(7.10)

Представление спектра (7.10) принципиально включает более широкий класс спектров реальных случайных процессов. Однако аналитические трудности, возникающие при синтезе алгоритмов обнаружения сигналов на фоне процессов типа СС либо АРСС даже при использовании гауссовского представления плотностей распределения, не позволяют широко использовать указанные модели для практических задач обработки сигналов. По этой причине, а также ввиду того, что реальные узкополосные помехи с выраженными экстремумами спектра мощности хорошо аппроксимируются процессами авторегрессии невысокого порядка, в дальнейшем будем пользоваться моделями авторегрессии. В тех слу-



чаях, когда отсутствует уверенность в адекватности АР модели реальным помехам, целесообразно использовать наиболее общее представление (7.2) ковариационной матрицы случайных дискретных стационарных процессов.

7.4. Оптимальное обнаружение гармонического сигнала с неизвестной амплитудой и фазой на фоне авторегрессионной гауссовской помехи с неизвестными параметрами

Решающее правило максимального правдоподобия. Пусть наблюдается конечная дискретная комплексная выборка Y=Jt/i, t/jv), где yt=xt+St в присутствии сигнала

St; помеха Xt= 2 6jXi j+gi, /=1, .... N - стационарный случайный коррелированный нормальный процесс авторегрессии заданного порядка Wl; Qj, j=l, .... W - неизвестные комплексные параметры АР; t - комплексные случайные независимые величины, распределенные по нормальному закону i/V (О, е); 8= =Л1((2) - неизвестная величина интенсивности процесса It; Si=Uec* -полезный сигнал; U-иеЧ - неизвестнык комплексный множитель, определяющий амплитуду и и начальную фазу ф полезного сигнала; Т - период дискретизации.

Рассмотренная модель коррелированной помехи формируется рекурсивным фильтром W-ro порядка, на входе которого действует некоррелированный случайный процесс (. Аддитивная смесь сигнала St и АР помехи на выходе

yt=xt + st= 2 QjXt-} + St + lt= 2 дзУг- - - 2 QjSt-j+lu (7.11),

где ©0 =-1.

Модель аддитивной смеси сигнала и помехи (7.11) для гармонического сигнала st = UoexpmctT эквивалентна другой, более простой модели

У* = S yt-j + St + It. где St = Ue<c", (7.12)-

формируемой рекурсивным фильтром W-xxi порядка, на входе которого действует аддитивная смесь St + Ъ полезного гармонического сигнала и белого нормального шума. Модель (7.12) позволяет свести задачу нахождения оценок максимального правдоподобия к задаче наименьших квадратов.

Кроме основной выборки У предполагается наличие дополнительных независимых (взаимно и от У) классифицированных обучающих помеховых выборок (каналов) со статистическими свойствами, аналогичными свойствам помехи в основной выборке. За-



дача обнаружения гармонического сигнала на фоне коррелированной гауссовской помехи формулируется как задача проверки сложной гипотезы Яо: U = 0 - сигнал отсутствует против сложной альтернативы: Ни ифО - сигнал присутствует.

Для решения задачи обнаружения сигнала воспользуемся критерием отношения максимумов правдоподобий (ОМП) [65]. Пусть известно, что полезный сигнал может содержаться в основной выборке Yi=(i/ii, yNi); в дополнительных обучающих выборках Ук=(у1к-, -, yNk), k = 2, .... m+l присутствует только помеха. Положим также, что известны W наблюдений, предшествующих выборкам Yh, т. е. известны Yh= {yi-w.h, -. Уоп), k=l, ...

m+l. Тогда в отсутствие сигнала условная плотность распределения наблюдаемых векторов Y= (Yi, Ym+i) имеет вид [67]

Po(Y/Y, е, е)=я-""+"8-<"+>ехр-8- sVft-A.ei)

(7.13)

VqJi k - Vl-W, k

Vih <0h - y2-W. k

- комплексная NxW матрица наблюдаемых случайных величин, в= (Gi, Qw) - вектор неизвестных комплексных параметров процесса АР; 8 - неизвестная величина интенсивности

помехи; Y= (Y, Ym+i); hl2=h*h - квадрат модуля вектора h; - знак комплексного сопряжения и транспонирования. Функция правдоподобия, как известно, определяется выражениями для плотностей распределения в предположении, что наблюдаемые случайные величины Y фиксированы, а параметры в, е, U помехи и сигнала являются переменными величинами.

Логарифм условной функции правдоподобия при отсутствии сигнала

Lo=lnZo(e,EY, Y)=-(m-f 1)/Vlnn-(m-M)JVln8-

-8- 2 lYfe-Afeei

(7.14)

Логарифм условной функции правдоподобия в присутствии сигнала

Li = lni,(e, 8, и/\, \)= - {т+1)Ы1пп-{т+1)Ы\пв-

-8-4Yi-Br]p-8-i 2 Yfe-Ae2,

(7.15)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95