 |
 |
 |
 |
Дифференцируя логарифм (7.58) по /*, учитывая свойства квадратичных форм и приравнивая производную нулю, можно найти систему уравнений максимального правдоподобия для вектора Х неизвестных комплексных параметров помехи
(F22 + G22)X = -(F21 + G2,), (7.60)
Р21=02,-[/*E2,-f/E*,2+ и\2С21, F22 = D22-t/*E22-t/E*224-f/=C22.
Дифференцируя логарифм (7.58) по U* и приравнивая производную нулю, получаем
иц*Ск=ц*Еи (7.61>
[/(Cl,4-X*C2l4-Ci2Z+%*C22Z) =
= E„-b/*E2i-f Ei2Z-f Z*E22Z.
(При объединении (7.60) и (7.61) получается система уравнений для нахождения оценок МП параметров X и t/ при альтернативе Яь
(D22-t/*E22-C/E*224- 1 f/ C22-fG22) Z =
=- (D2,-f/*E2i-C/E*,2+1 f/I C2,4-G2i), (7.62)
t/(Cn+Z*C2I-f C,2Z+Z*C22Z) =
=£u +Z*E2i+E,2Z+Z*E22Z. Уравнения системы (7.62) нелинейные. Поэтому для нахождения оценок МП параметров % и U можно воспользоваться методом изложенным в § 7.6.
В результате получается система линейных уравнений
(7.63)
Daa + G22 | -E21 | - E* 1 | |||
c« | |||||
--Е2 | 22 - | ||||
-D21 -Gi | |||||
. т = | |||||
.1 . | |||||
Q=U%. Решая систему уравнений (7.63), можно найти оценку х
вектора z неизвестных параметров помехи. Подстановкой % в (7.61) находится оценка комплексной амплитуды сигнала
0==, (7.64)
где и=(1, z)-138
Из (7.58) находится оценка МП параметра е интенсивности помехи при условии справедливости альтернативы Ни
8 =--[и* F (&) И + и* Си] (7.65)
(т+ l)N
И экстремум функции правдоподобия при условии присутствия полезного сигнала
sup /i(X,6,f Y) = Jt-(m+l)Wg-(m+IWe-(m+UW (7,66)
(Х,8.1/)ей.
Оценки МП вектора параметров х помехи при условии справедливости гипотезы Но определяются из (7.59) с учетом соотношения
2 Y;AY„ = K*RK=i?ii-f5c*R2i+Ri2 5C + 5C*R22 7. (7.67)
m+l /m+l \
где R= 2 G„= 2 2 yt+k.nyi+h.n )
n=l \n=l ft=0 /
Матрица R и матрицы F и G из (7.58) имеют размер {p-\-l)X X(p-fl).
Из (7.67) находим систему линейных уравнений для оценки МП вектора параметров % при условии Яо:
R22X=-R21. (7.68)
откуда
5t=-R-22R2i. (7.69)
Из (7.59) и (7.67) находится оценка МП параметра е при условии справедливости гипотезы Яо:
е=-!-(7.70
а также экстремум функции правдоподобия
sup /о (X. 8/Y) = Я-<»+») Ne.-lm+l) N g-Cm+l) W (7 J])
(Х,8)ейв
Из (7.65), (7.66) и (7.70), (7.71) получается решающее правило ОМП с критической областью
>С. (7.72)
»<*[р(г7)-1-о]х
гдех=(1.х);«=(1.х).
Значение % определяется из (7.69), % и О из (7.63) и (7.64). С учетом (7.69) и соотношения x*Rx=i?ii-fx*R2i+Ri20C+%*R22X
3«*RX = /?I1-Rl2R-22R21.
с использованием (7.58) и (7.67) РП ОМП можно представить в виде
a*AYiP , (7.73)
m+l I m+l
,a*Aa 2 Y;AY„ j 2 YA Y„
\ n=l / /1=1
где A=A(x); A=A(x); f{x){l-x)-K В алгоритме ОМП (7.73) производятся следующие операции: декорреляция узкополосных
помех t=A\, корректировка вектора сигнала S=A/2a, корреляционная обработка и детектирование S*t2= a*AYi, норми-
/я+1 „,
ровка на оценку мощности помех S YnAY„ и сигнала S*S=a*Aa
после декорреляции, нелинейное преобразование f(x) и сравнение
с адаптивным пороговым уровнем. Матрица А определяется формулой (7.3) при 8=1 и %h=0 при k>p.
В решающем правиле (7.73), в отличие от условного РП ОМП, рассмотренного в § 7.6, не требуется задания р предыдущих выборочных значений и используется хотя и упрощенная, но безусловная плотность распределения наблюдаемых случайных величин Y.
Рассмотренные в настоящей главе решающие правила обнаружения сигналов на фоне случайных стационарных помех с неизвестными параметрами матрицы ковариации получены без учета ограничений на параметры помех, гарантирующих положительную определенность ковариационной матрицы (см. § 7.3). Учет указанных ограничений усложняет решающие правила и не приводит к существенному повышению их эффективности.
7.8. Эффективность алгоритмов обнаружения сигналов на фоне случайных стационарных помех с неизвестным спектром мощности
Асимптотические характеристики обнаружения. В § 7.3-7.7 рассмотрены оптимальные по критерию отношения максимумов правдоподобий алгоритмы обнаружения квазидетерминированного сигнала с неизвестной комплексной амплитудой [/ на фоне случайных стационарных помех с неизвестными параметрами. При значении параметра k=Nm-oo, где N - объем выборки; т - число дополнительных обучающих реализаций помехи, можно воспользоваться асимптотическими характеристиками обнаружения РП ОМП. Как известно логарифм статистики РП ОМП - 2 log L в присутствии сигнала подчиняется нецентральному х-распределению с г степенями свободы и параметром нецентральности q={Ur-Uro)V~4Ur-Uro), где Ur - неизвест-
Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.- М.: Наука. - 1973. - 900 с.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95