 |
 |
 |
 |
помехи. Эти потери для заданного Л-вектора а полезного сигналя оцениваются величиной
Здесь 0= I ila*An"~a - отношение сигнал-помеха для оптималь кого алгоритма; t/2(a*Ara)2/a*ArAnAi"a - отношенш
сигнал-помеха для алгоритма обнаружения, рассчитанного на AF модель помехи; An, А] - ЛГхЛГ-матрицы корреляций соответственно для реальной помехи и для АР модели помехи Следует за метить, что ртоах=1 при Ai=An.
Матрица Aj формируется из вектора в= (в),..., Qp) параметров процесса АР решением системы линейных уравнений Юла- Уолкера [64]:
где А[р] - рХр-матрица, представляющая собой левую верхнюю
подматрицу нормированной матрицы Ап=Ап/ог; о - мощность узкополосной помехи; R= (ri,..., Гр) - вектор первых р коэффициентов корреляции матрицы Ап. Матрица Ai~ рассчитывается по формуле
АГ=СС*-ВВ*, где С=Ь - 26.и,
0 ... о
В = 2 в/и
- ЛХЛ-матрица.
0 . . . 1 0J
В табл. 7.1 даны потери для узкополосной помехи в виде аддитивной смеси двух АР процессов соответственно 1-го и 2-го порядков, расстроенных по частоте на юьТ=±0,08я, и белого гауссовского шума с интенсивностью е=10~ и е=10~ при N=50. Корреляционная матрица суммарной помехи для смеси двух АР процессов 1-го порядка и некоррелированного шума
A„ = eb-f2:i-f-22,
. Ье- 1
= 1,2;
Таблица 7.1
Таблица 7.2
Потери, дБ
Порядок авторегрессии р | ш,7-= | 0,12я | с0(,7 | =0,2л |
е=10- | 8=10-! | 8=10- | 8=10- | |
4.87 | 5,18 | 6,75 | 8,13 | |
1.01 | 0,88 | 0,97 | 0,38 | |
0,72 | 0,44 | 0,28 | 0,09 | |
0,47 | 0,36 | 0,12 | 0,07 | |
0,45 | 0,17 | 0,12 | 0,04 | |
0,449 | 0,14 | 0,04 |
Порядок авторегрессии р | Потери, дБ | |
С0е7-0,12Ч | со.Г=0,2я | |
31,0 | 22,5 | |
12,3 | 0,12 | |
0,09 | ||
0,022 | 0.03 | |
0.021 | 0,02 | |
0,008 | 0,005 | |
«/1=
> 8ofe - мощность формирующего АР процесс шума. Для
расчетов полагалось б=0,99; eoi=eo2; а>\Т=-0,08п; 0)27=0,08; 61 = 62=1. Отметим что суммарная помеха не является АР процессом.
В табл. 7.2 приведены значения потерь р в децибелах для аддитивной смеси двух гармонических составляющих, настроенных на частоты (й7=±0,08л; и белого шума с интенсивностью е=10~* и 8=10-5.
Значения частоты настройки полезного гармонического сигнала составляли (йс7=0,12я и 0,2я. Если принять в качестве критерия устойчивости алгоритмов энергетические потери р не более 1 дБ, то для смеси АР процессов 1-го и 2-го порядков и некоррелированного шума устойчивость обеспечивается при использова-«ии в алгоритме модели АР порядка р4. Для смеси синусоидальных помех и некоррелированного шума приемлемые энергетические потери достигаются при р8. Для энергетического спектра реальных узкополосных помех, показанного на рис. 7.2, р,== =-6,8 дБ для р=1 и р=-2,4 дБ для р=2 при сясТ=Ь,12п. •Обеспечение энергетических потерь около 1 дБ потребует дальнейшего увеличения порядка АР модели.
Критерием выбора порядка р модели АР узкополосных помех в алгоритме обнаружения может быть следующий: выбирается minp, для которого р(р)ро, где ц{р)-энергетические потери для заданной частоты гармонического сигнала или для заданного вектора а широкополосного сложномодулированного сигнала. Если полезный гармонический сигнал ожидается в заданном диапазоне частот, то рассчитывают средние энергетические потери - м
ц{р) = (l/M) 2 mip) для дискретного набора ожидаемых частот {=1
tOt, 1=1,..., М, полезного сигнала для р=1, 2,... и выбирают minp, при котором р(р)ро, где ро - заданные энергетические потери. Энергетический спектр Sn((u) узкополосных помех и соответствующая ему матрица А„ корреляций рассчитываются исходя из априорных данных о помехах либо оцениваются по обучающим яомеховым выборкам. В последнем случае используется оценка
элемента теплицевой эрмитовой матрицы стационарного процесса
вида mi={lfN) 2 УкУ*к+1, 1=0,..., N-1, где Л -объем выборки.
Свойства оценки щ для действительной выборки детально изучены в [64].
Глава 8.
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОБНАРУЖИТЕЛИ ПРИ ФИКСИРОВАННОМ ОБЪЕМЕ ВЫБОРКИ
8.1. Непараметрические тесты проверки статистических гипотез
В настоящее время известно значительное число статистических тестов различения гипотез [65, 68]. Поскольку задача обнаружения сигнала на фоне помех представляет собой статистическую задачу различения двух типов распределений (плотностей) - гипотетического G(x){w(x)) и альтернативного f{x){f(x)), эти тесты в том или ином виде могут быть использованы для рещения задачи обнаружения.
Ниже приводится краткий перечень наиболее известных статистических тестов, которые находят (или могут найти) применение в обнаружителях сигналов.
Широко известны в математической статистике критерии • согласия, которые служат для решения задачи о принадлежности результатов независимых наблюдений xi, х,..., Хп тому или иному распределению 38, 41]. Статистики таких критериев, на которых основывается правило выбора решения, используют тем или иным образом введенную количественную меру различия между распределениями конкурирующих гипотез - «расстояние» между ними. В качестве таких мер, в частности, используются следующие:
diF, G)S>ub\F(x)-G{x)\, (8.1) ж
G(x)
d, {F, G) = [F (X) G (x)] 1]: (G {x) dG (x), (8.3)
d{F, G) = Sup
(8.2)
d, (F. G) = J [F (x) - G (x)] dG (x), (8.4)
где aj3(jc) - некоторая весовая функция, в частности ip{x) = \.
Если функция распределения (ФР) G{x) при гипотезе Яо известна (простая гипотеза), то для проверки ее правильности по
Поскольку понятие «критерий» в математической статистике и в теории обнаружения не всегда однозначно, в дальнейшем вместо этого термина будем употреблять термин «тест».
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95