 |
 |
 |
 |
или в матричной форме
А(5С) = в-ЧВВ*~СС*), (7.3)
где В = 1а,+ 2 XftE С= S XfeE"*. fe=i fc=i
о ...1 о
; %k, .... N-1, - комплексные величины;
е - действительный параметр, определяющий интенсивность процесса.
Очевидно, при объеме выборки N ковариационная матрица стационарного случайного дискретного гауссовского комплексного процесса содержит N-1 в общем случае комплексный и один действительный параметр. Для нестационарного гауссовского комплексного процесса с неизвестной матрицей ковариаций число неизвестных действительных параметров )N, а комплексных - N{N-1)/2. Плотность распределения наблюдаемой выборки х= = (ль .... xjv) из стационарного случайного комплексного процесса при нормальном распределении выборочных значений
р(х/е, х) =я-А(х) ехр[-х*А(х)х], (7.4)
где А(х)-JVXiV-комплексная матрица, обратная ковариационной матрице S стационарного случайного процесса; е, х - неизвестные параметры случайного процесса.
Как следует из (7.4), для полного описания дискретного стационарного случайного гауссовского процесса достаточно задать матрицу ковариаций S либо обратную ей матрицу А(х). Гауссовская аппроксимация узкополосных помех, воздействующих на приемные устройства средств связи, радиолокации и другие, является весьма распространенной [27] и приводит к синтезу алгоритмов обнаружения сигналов на основе методов параметрической статистики. Учет негауссовской компоненты помех может быть сделан с использованием непараметрических методов и другими способами [27] (см. гл. 9-И).
Дискретизация стационарного случайного процесса сводит непараметрическую задачу оценки бесконечномерного неизвестного спектра мощности к параметрической задаче оценки N неизвестных параметров при наличии JV дискретных отсчетов. Шаг дискретизации однозначно определяется заданной шириной спектра AFc полезного сигнала: Дт=1/А/с. При таком шаге квантования не возникает неоднозначности в описании спектра узкополосных помех с шириной полосы частот AFa<.AFc. Ширина энергетического спектра широкополосных помех ограничена полосой пропускания приемного тракта, согласованной с шириной спектра AFc полезного сигнала.
Для выполнения условия положительной определенности все Собственные числа матрицы корреляций должны быть положительны либо должны быть положительными определитель и все главные миноры. Так, при N=3 для корреляционной матрицы
1 Pi Р2
Pi 1 pI
LP2 Pi 1 .
полученной из ковариационной матрицы (7.2) нормировкой всех элементов этой матрицы на величину интенсивности оо, т. е. р,- =аг/ао, имеем следующие условия:
1 рГ
Pi 1
Ра Pi
1 р: | >0; | 1 Р2 | >0; |
Pi 1 | р. 1 |
Р* 1
>о.
При большом значении N на параметры pj, t=l, N-1 корреляционной матрицы стационарного случайного процесса накладывается большое число ограничений.
Авторегрессионные процессы. Для описания стационарных случайных процессов широко используется представ-.ление последних В виде процессов авторегрессии заданного порядка [64]. При этом во многих практических случаях достигается адекватное описание узкополосных случайных помех и сигналов при существенно более низком числе неизвестных параметров по сравнению с рассмотренным выше общим представлением дискретных стационарных случайных процессов. Комплексный дискретный процесс авторегрессии (АР) р-го порядка по аналогии с действительным процессом задается стохастическим разностным уравнением
(7.5)
где yt - наблюдаемые дискретные комплексные случайные величины АР-процесса; Qj - комплексные параметры АР-процесса; ( - независимые дискретные комплексные случайные величины с дисперсией e=iW[(p].
Пусть наблюдается выборка Y= {уи у) из процесса, генерируемого согласно (7.5). Тогда наблюдаемый вектор Y можно представить в виде
¥=Не-М, (7.6)
Уо У-1 -Vi-p У1 Уо ... У2~р
- А/Хр - матрица наблюдаемых случайных дискретных величин.
в= (6i, бр) - вектор размерности р параметров АР; = = iiv) - вектор независимых дискретных значений шума.
Как видно, уравнение (7.6) по форме совпадает с обычным уравнением регрессии за исключением того, что матрица регрессии Н в данном случае не задана заранее, а составлена из самих наблюдаемых величин. Отсюда и происходит название «авторегрессия».
Энергетический спектр авторегрессионного процесса имеет вид [64]
5др((0)=8
1 - 2 6fe е-*»
, (7.7)
где е - интенсивность формирующего процесса Если спектральная плотность Sn(co) помехи непрерывна, то для произвольно малого значения А>0 существует такой процесс авторегрессни (7.5) со спектральной плотностью (7.7), когда выполняется условие
(Sn(o))-5ар(со) <:Л для -л1а)<я.
Спектр мощности (7.7) характеризуется возможным наличием ярко выраженных экстремумов, число которых может достигать значения р. Представление (7.7) хорошо аппроксимирует весьма широкий класс спектров мощности узкополосных сигналов и помех. При этом порядок р процесса автогрессии может быть существенно меньше объема выборки, т. е. p<diV. Во многих практически важных случаях р=1 либо 2.
Для получения матрицы А, обратной ковариационной матрице Si авторегрессионного процесса р-го порядка, достаточно в выражении (7.3) для обратной матрицы ковариаций общего стационарного процесса принять Xfe=0 для p<i\kN-1.
Важным достоинством дискретного АР процесса является существование функций от выборочных значений yi, уы, образующих необходимые и достаточные статистики, число которых для действительного АР процесса равно (р-Ы) (р-Ь2)/2. Существование достаточных статистик упрощает и делает более эффективными оценки неизвестных параметров случайных процессов и позволяет использовать разработанные методы теории проверки статистических гипотез [65]. Аппроксимация реальных узкополосных случайных помех гауссовскими процессами авторегрессии невысокого порядка позволяет получить в относительно простой аналитической форме алгоритмы обнаружения сигналов, включающие как составную часть эффективные оценки неизвестных параметров помех и полезного сигнала. Отметим, что марковские модели случайных процессов являются частным случаем авторегрессионных процессов [66].
Другой достаточно широко используемой моделью стационарных дискретных случайных процессов являются так называемые процессы скользящего среднего (СС) [64], формируемые усред-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95