 |
 |
 |
 |
Начало
Выбрасывание случайной точки д область глобального аоаса
Двии<ение S локальный экстремум по методу наискорейшего спуска
Вычисление разности целевой функции vy{x} в тчйпьиой а конечной moJKox грусна
Двитгиир по методу гровиенто
Печать результатов локального поиска
0,6 0,5 OA 0.3 | /гее | плоти | |||||||||||||||||
\ | |||||||||||||||||||
>•• | |||||||||||||||||||
-0,2 е в,2 « в,ео.в i,d 1,2 1,1, 1,1 is 2.02.2 2.1 2.в г,в до х а)
0,5 0,1 0,3 0,2 0,1
Аплроксимирующаи д)унщип
-0,2 О 0,2 0,10,6,
Рзлеебская плотность | ||||||||||||||||
Рис. 2.3. Общая структурная схема алгоритма аппроксимации
Рис. 2.4. Полигауссовская аппроксимация рэ-леевской плотности вероятности:
а - два члена аппроксимации; б - три члена аппроксимации; I, 2, 3 - гауссовские компоненты
На рис. 2.6. даны плотности вероятности гамма-распределения
йу(л;) (xVa)exp(-х), хО.
С ростом исходного числа компонент и, главное, с ростом размерности аргумента аппроксимируемой плотности вероятности значительно увеличивается время поиска локальных экстремумов, и к тому же из-за одновременного увеличения размерности пространства параметров и усложнения рельефа целевой функции уменьшается вероятность достижения глобального экстремума. В этих случаях следует использовать начальные приближения, полученные описанным в § 2.11 методом уменьшения дисперсии, однако это резко усложняет расчеты. Для решения задачи в этих условиях используются различные упрощенные процедуры, сокращаются вычислительные затраты за счет детальных аналитических исследований частных случаев (см., например, оптималь-
• Sorenson Н. W., Atspach D. L. Recursive bayessian estimation using gaus-sian sums Automatica.-1971. -Vol. 7. -P. 465-479.
0,2 Di) 0.6 0,8 1.0 иг r.it 1,6 W 2,0 2,2 2fl 2,6 x
6) 0 0,2 0,U 0,6 0,8 1,0 1,2 1,1, r,6 t.B 2,0 2,2 2,t 2,6 x
0,2 0,1 0,6 D,B 1,0 1.2 4 1.6 7,8 2,0 2.2 2.lt 2,6 X
Рис. 2.5. Полигауссовская аппроксимация усеченно-нормальной плотности вероятности:
а - два члена аппроксимации; б - три члена аппроксимации; в - четыре члена аппроксимации; 1, 2, 3, 4 - гауссовские компоненты. Пунктирная кривая - аппроксимирующая функция
ную В среднеквадратической приближении полигауссовскую аппроксимацию одно-, дву- и трехмерных равномерных плотностей [46]. Можно также задаваться не только числом компонент, но и значениями их наиболее трудно определяемых параметров. Остальные параметры определяют из условия минимизации среднеквадратической погрешности аппроксимации.
Рассмотрим некоторые упрощения и условно-оптимальные методы расчетов. Начнем с предельно простого графического способа, состоящего в аппроксимации исходной диаграммы плотности вероятности суммой равнобедренных треугольников, каждый из которых затем заменяется нормальной плотностью с параметрами т„ и ап=ап/а, где т„ - абсцисса вершины и 2а„ - ос-
0-2 0-2
D-r 0-1
Гамма -распределение | |||||||||||
6 членов | |||||||||||
>• | |||||||||||
Рис. 2.6. Плотность вероятности гамма-распределения (сплошная кривая) и аппроксимирующая функция при шести гауссовских компонентах (пунктирная кривая)
-2-0 0 0 2-0 1-0 6-0 В О Ю-012-0 П О
нование п-го треугольника; на рис. 2.7 изображены разбивка исходного неравнобедренного тре* угольника на равнобедренные, заменяющие их гауссовские плотности, и результирующая плотность.
Можно предложить так называемую «простую оценку», пр» которой параметры аппроксимации выбираются следующим образом:
1) значения математических ожиданий выбираются так, чтобы компоненты смеси были равномерно размещены в области аналогичной (2.39);
2) вероятности компонент находятся интегрированием исходной плотности в соответствии с предыдущим разбиением;
3) дисперсия для всех компонент одна и та же и выбирается из условия минимизации величины средней или среднеквадрати-ческой ошибки аппроксимации.
Отметим, что если априори заданы число, средние значения и дисперсия гауссовских компонент, то условно-оптимальная в среднеквадратическом приближении аппроксимация исходной плотности w{x) всегда существует, единственна, и может быть получена методами линейного программирования при ограничениях на искомые вероятности вида (?п0, n=l, N. Этими же методами строится условно-оптимальная статистическая оценка вектора q по гистограмме. При этом качество приближения характеризуется математическим ожиданием среднеквадратической ошибки. Более того, изложенные в настоящем параграфе методы аппроксимации исходных плотностей вероятности применимы и к гистограммам при указанном критерии, а также с учетом влияния объема Я имеющейся простой выборки на задаваемое число N компонент смеси: практически при «50 следует задавать Л=2... 3; при Я»200 допустимо N10, а при Я«500 Л20. При полигауссовской аппроксимации помех, полученных в результате наблюдений, могут использоваться методы, предложенные
Рис. 2.7. Аппроксимация плотности вероятности, имеющей форму неравнобедренного треугольника {1), тригауссовской плотностью вероятности (2); mi, шч, гпз - абсциссы вершин равнобедренных, треугольников
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95