 |
 |
 |
 |
и функцию распределения
Л, N
Wo, {X) Z Qnh(x-mj + S 9n Ф
X -m„
(2.31)
где б(-) - б-функция, ft() - функция единичного скачка и Ф(-) - интеграл вероятности. Основой практического применения указанной идеи является связь между преобразованиями Фурье декомпозируемой Fi[w(x)] и вспомогательной (х)] функциями:
Flw{x)]F[w{x)]exp{}
(2.32)
что позволяет строить вспомогательную функцию непосредственно по исходной. Практически все функции рассматриваются на конечном интервале 0:л;А и определяются коэффициентами Фурье flft. Как показано в [20], приближенные оценки параметров выделяемых компонент можно получить в результате синтеза вспомогательной функции вида
(х) = -5х+ S ехр
. kn
sm-- X,
(2.33)
изменяя вспомогательный параметр Я, от О до Vmin, при этом точки разрыва функций (2.30), (2.31) или (2.33) определяют оценки средних гпп, предельное значение параметра Я- - оценку дисперсии
omin, размеры скачка в (2.31) - оценки вероятностей qn и число скачков Л1. Вопросы использования быстрого преобразования Фурье в целях декомпозиции изложены в [44]. При автоматизации изложенной процедуры основную сложность представляет фиксация момента достижения предела X-Omin. Вместо этого для оценки Отгп МОЖНО воспользоваться свойством асимптотического представления F[ffi(«)], которое для смеси типа (2.29) приводит к приближенному равенству
Re [ф(6,)] « ехр { о.„ б} 2 cos m„ Q„
/г-1
откуда при 6е 6й=- имеем
а2 =
In
2 1"
(2.34)
Для дальнейшего уточнения параметров можно последовательно вводить селектирующие множители в виде гауссовских функций с
параметрами =у, Ос=Отгп, =1, ЛГг.
2-186
(2.35)
Таблица 2.1
Яараметр | Ооднки параметров | Истинные значения |
0,602348 | ||
1,299633 | ||
0,03945626 | 0,04 | |
0,293972 |
Рис. 2 2 Декомпозиция функции w{x)
И после построения на основе (2.35) получим для первой компоненты
2огЬ
Re(p(ei)cosma,e
Re(p(a,ei)cosme
I Re Ф (ai Oi) cos mic Bi
(2.36)
arctgi2i + to Recp(ei)
Х>2л(а + о?)
--m„
2(аН.)
Re 9(61) ехр
2 cos «181
Определив уточненные параметры первой из равнодисперсионных компонент, вычитаем ее из исходной плотности (2.29) и повторяем процедуру уточнения для оставшихся. Вопросы сходимости подобных процедур изучены в [50].
Выполним декомпозицию функции, представленной в виде графика (рис. 2 2, кривая Для этого разложим функцию в ряд Фурье и совершим -преобразование, которое при Х=0,17 показывает наличие двух компонент с одинаковой дисперсией и оценками средних значений fhifsOJ и Й2»1,45 (кривая 2) Вводя селектирующий множитель с /Пс=1,3 и 0с=О,17, определим mi = = 1,299633, 01=0,198636, 91=0,293972. После вычитания компоненты с найденными параметрами из заданной функции получим параметры оставшейся компоненты (табл. 2.1).
В заключение отметим, что методы декомпозиции полигаус-совскнх явлений могут быть использованы и при аппроксимации произвольных случайных явлений.
2.12. Лолигауссовсвкет аппроксимация помех (сигналов)
Полигауссовская аппроксимация состоит в определении числа, средних значений, дисперсий и вероятностей компонент по критерию близости неходкого и полигауссовского описаний сигнала
или помехи. Обычно используют критерий среднеквадратической погрешности. Найдем критерий среднеквадратического приближения и общие методы минимизации среднеквадратической погрешности на основе работ [30, 44, 45, 49]. Пусть задана исходна» плотность вероятности w{x) и требуется минимизировать
У(Я. т, o)=J(n) =
w(x)- qnN{x, m„, al}
dx (2.37).
на множестве значений параметров, которые для краткости записи представим векторами П={я, т, о}, где q={(7i.....Qn);
m={m,, Шп, .... ttiif}; a={ai..... an.....aV} при ограничени-
ях S qn=l, (nO. В силу произвольности исходной функции
w(x) и особенностей гауссовских смесей целевая функция (2.37) многоэкстремальна. Поэтому приходится организовывать поиск и перебор локальных экстремумов для отыскания глобального.
Для локального поиска целесообразно использовать итеративные градиентные процедуры типа
Пг+1 = Пг + М(Пг)ёГас1/(Пг). (2.38)
где структура матрицы М(Пг) определяет вид движения к минимуму. Определение области глобального поиска и выбора нулевого приближения разными авторами организуется различным образом. При этом поиске вероятности обычно ограничены условиями 0(7„<1; qn=\IN; средние т„ достаточно полно и равномерно располагают на носителе исходного распределения вероятности, в частности, например,
fnX={Q,mW{x)0,9b}, (2.39)
где W{x) - исходная функция распределения. Дисперсию оп гауссовских компонент следует ограничивать дисперсией исходного распределения о: (Оопо), поскольку для полигауссовс-кой случайной величины [29]
о** = 2 qn {ml + о2) С 2 9„ т„ у. (2.40)
п=1 \п=\ I
Один из типичных вариантов алгоритма полигауссовской аппроксимации [44] приведен на рис. 2.3. В области глобального поиска выбрасывается точка со случайными равномерно распределенными координатами; движение в ближайший локальный экстремум происходит сначала по методу наискорейшего спуска, а затем по методу градиента. Продолжительность глобального поиска заранее задается выбором общего числа случайных нулевых, приближений. Результаты аппроксимации по описанной процедуре исходных рэлеевской и усеченно-нормальной плотностей при различных исходных количествах гауссовских компонент приве-дены на рис. 2.4 и 2.5.
i* 35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95