 |
 |
 |
 |
ПрЦ такой записи гармонического сигнала
u{t) (t)exp{j[+Q{t)]}==A (t) {cos[cof+е(/)] +
+У sin 1(0+6(0]}. (3.11)
Комплексное представление сигналов существенно упрощает выкладки при вычислениях. Конечные результаты анализа позволяют легко переходить от экспоненциальной формы записи к тригонометрической, отбрасывая в полученных соотношениях мнимую часть. Комплексная форма записи может использоваться не только для гармонических колебаний, таких, как (3.11), но и для колебаний негармонических.
Если сигнал является действительной функцией s{t), то соответствующий ему комплексный сигнал
Usit)=s{t)+isi(t), (3.12)
где Si{t) -функция сопряжения с s{t) по Гильберту.
Для действительного гармонического сигнала (3.1) вида s(0=coscoo сопряженная по Гильберту функция si(О =sinюо.
В общем случае условия сопряжения по Гильберту определяются более сложными соотношениями (см., например, [33]). Для комплексного сигнала (3.12) его спектральная плотность
U.(/)=S(f)+/S.(/). (3.13)
Можно показать [33], что
2S(/) при />0, 3 J4
О при /<0.
Таким образом, спектральная плотность f/s (/) содержит только положительные частоты. Если комплексный сигнал удовлетворяет условиям сопряжения по Гильберту, т. е. определяется соотношениями (3.12) и (3.13), то его называют аналитическим сигналом.
Для комплексного гармонического сигнала и() соотношение (3.11) при е(0=Эо можно записать в виде
U (О = А (О ехр {/[юо+во]} = и (О ехр {jmt). (3.15)
Здесь U(0 = U(0exp(/eo) является комплексной амплитудой высокочастотной несущей с частотой «о. При этом амплитуда высокочастотного действительного сигнала Л(0 = и(0- Для узкополосного сигнала, для которого ширина спектра значительно меньше несущей частоты юо, U(/) есть медленно изменяющаяся функция времени по сравнению с ехр(/соО-
Действительный сигнал s{t) связан с комплексной амплитудой соотношением
S (О = Re[u {t) ] = Re{U (t) ехр (/tooO.
где Re - действительная часть. Преобразование Фурье для и(/)
U(/)= Jll{t)exp{-iwt)dt, ((o = 2nf). (3.16)
-too
Ue(/) =
Здесь V (f) - спектральная плотность комплексной амплитуды. Формула (3.16) для комплексного сигнала аналогична (3:3) для действительного сигнала. Удобство введения комплексно! формы (3.15) представления сигнала связано с тем, что при траком рас-.смотрении упрощаются математические преобразован! за счет исключения несущей частоты.
Для узкополосных сигналов энергия сигнала связана со спектральной плотностью комплексной амплитуды V{t) соотношением [33]
Эе= ]\U{t)\t = ]\V{f)\f. (3.17)
Учитывая, что U() \=A{t), можно написать
o=Y ?()- (3.17)
Это соотношение будет использовано в последующих параграфам для определения энергии сигналов.
3.5. Радиоимпульсы
Рассмотрим вопрос об энергии радиоимпульсов, представляющих собою высокочастотные сигналы, промодулированные по амплитуде односторонним импульсом. Общее выражение для ампли-тудно-модулированного действительного радиосигнала
s{t)=A(t)cos{mt+Qo).
Здесь передаваемая информация определяет вид огибающей A(t), too - несущая частота.
Воспользуемая (3.17) для определения энергии единичных радиоимпульсов. В первую очередь рассмотрим импульс с прямоугольной огибающей, имеющей длительность Г и постоянную в пределах длительности Т высоту A{t)===Ao. Для этого случая энергия
5, = 4- ][A{t)fdtAl-l-(dtAlTl2. (3.18)
Для импульса колоколообразной формы
Л(0=Лоехр(-тс). Здесь a = TJ2, где Ги - длительность импульса на уровне 0,606 ют Ао.
Энергия импульса
= -f I [Л (tW dt = - J[exp (- WW dt =
= 4jexp(-V)rfi.
Выполняя интегрирование, получаем Эе = 1 aVnl2 = {VI2) Al TJ2.
Формула (3.4) позволяет вычислить энергию как видеоимпульсов, так и радиоимпульсов, если известна спектральная плотность s(f). В случае радиоимпульсов, модулированных по амплитуде видеоимпульсом, наиболее просто определить энергию по (3.17). Как видно из рассмотре"-ПИЯ (3.17), энергия сигнала зависит только от огибающей радиочастотного сигнала A{t) и не зависит от фазы в(/), т. е. от вида фазовой модуляции. Поэтому, например, для любых радиоимпульсов прямоугольной формы, модулированных по частоте или фазе, энергия определяется (3.18).
Следует отметить, что для рассмотренных выше импульсов простейшей прямоугольной формы, которые широко используются в импульсной технике, технике связи и радиолокации, можно найти энергию импульса на основе простых соображений. Вернемся к рассмотрению прямоугольного видеоимпульса с амплитудой Ао и длительностью Т. За время Т энергия импульса Эс = = РсТ, где Pc=A\IR - мощность сигнала. Полагая, как и при предыдущем рассмотрении, что R-\ Ом, непосредственно получаем ЭсЛоГ, что совпадает с (3.7).
В случае радиоимпульса при единичном сопротивлении цепи мощность Рс=Л2эф, где Лэф - эффективнее значение высокочастотного напряжения. Энергия радиоимпульса Эс=РсТ=АэфТ, При гармоническом сигнале Аэф=Ло/]/2. Таким образом, энергия радиоимпульса с амплетудой радиосигнала Ло, имеющего длительность Т, 9c={AolV2]Ч=Ао Т/2, что совпадает с (3.18).
3.6, Характеристики сложных сигналов
Найденные в предыдущих параграфах соотношения для энергии сигналов были получены в результате вычисления интегралов без учета каких-либо ограничений по полосе частот. Таким образом, эти соотношения определяют полную энергию сигналов. Однако основная энергия сигнала сосредоточена в некоторой ограниченной полосе частот AF. Если принять, что ширина спектра AF определяется из условия 0,99 значения энергии, то для прямоугольного импульса AF7«10, где Т - длительность импульса. Для других видов простых сигналов, не имеющих внутриимпульс-ной модуляции, произведение AFT имеет примерно такое же значение, как и для прямоугольного импульса. Для сложных сигналов, в которых используется внутриимпульсная модуляция, AFr»l.
При использовании в радиолокации простых сигналов возникает противоречие между требованиями к энергии сигнала и разрешающей способности системы по дальности. Энергия сигнала пропорциональна его длительности Т, поэтому при выбранном
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95