Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

0.8 0,6 0,1, 0,2

/20 100 80 60

1,0 а)

qrl,0 П,0.9 С,16 т-го

/ \ \

\ \

/ да If -.

\ -

Рис. 9.7. Зависимости вероятности обнаружения (а) и среднего числа наблюдений (б) бинарного рангового обнаружителя от отношения сигнал-помеха

помеха Ц\ и р\ для различных значений этого отношения. По найденным р\ и pi и постоянной Ро (при данном Ci) численным решением уравнения (9.27) определяется зависимость /i(pi, Cj), необходимая для вычисления L(pi, С\) и n(pi, Ci).

Из рис. 9.6 видно, что минимальное значение h достигается для гипотезы и альтернативы при Сх (0,8... 0,9) т, причем зависимость Я от С] в области (0,6... 0,85) m слабая. Это позволяет выбирать значение порога Сюпт == 0,7... 0,8 для всех ожидаемых отношений qi без заметного проигрыша в числе наблюдений.

Результаты расчета и моделирования характеристик последовательного бинарного РО показывают, что такой обнаружитель уступает оптимальному ранговому в среднем числе наблюдений h в условиях гауссовской помехи при пекогерентном обнаружении (порядка 20% при Ni я qil и около J0% при Но).

9.5. Усеченный ранговый обнаружитель

Для многих радиотехнических приложений характерны случаи, когда задача обнаружения сигнала решается параллельно во многих каналах (например, в Л радиолокационных каналах дальности), причем эксперимент не может быть прекращен, пока не будет принято решение во всех каналах. Если решение в каждом из каналов принимается независимо по последовательному критерию, то общая длительность Л-канальной процедуры определяется тем каналом, где решение более всего затянулось, причем с увеличением Л вероятность задержки возрастает. Поэтому применение последовательного критерия Вальда для многоканального обнаружения с независимым принятием решений в каналах с ростом их числа становится все менее выгодным по сравнению с критерием Неймана - Пирсона [27, гл. 4]. Это привело к разработке ряда модификаций последовательной процедуры, касающихся как изменения правила прекращения наблюдений, так и способа вычисления решающей статистики.



Простейшим способом недопущения затяжек последовательного анализа является переход к усеченному последовательному правилу, при котором на некотором шаге По оба порога заменяются одним, что приводит к принятию решения на этом шаге или до него. В ряде работ исследуются случаи применения сближающихся порогов.

В [91] предложена усеченная ранговая последовательная процедура многоканального обнаружения. Распределение ранговой статистики является дискретным и усеченным. Это свойство решающей статистики принимать конечное число дискретных значений может быть использовано для построения усеченного по числу шагов последовательного обнаружителя. Такой обнаружитель, реализуя заданные вероятности ошибок, обладает меньшей средней длительностью процедуры, чем соответствующий ему (по вероятностям ошибок) однопороговый обнаружитель с фиксированным значением числа наблюдений По при любом числе каналов N.

Рассмотрим ранговую процедуру Неймана - Пирсона, основан-

ную на статистике Sn= 2 г,-. Ограниченность снизу и сверху значений, которые может принимать ранг (Гг = 0, т), а следовательно, и статистика S„ приводят к тому, что для некоторых значений S„ уже на п-м шаге (п<по) можно вынести решение с заданной достоверностью независимо от результатов последующих шагов, т. е. на п-м шаге в этом случае величина может оказаться либо настолько малой, что можно гарантировать непревышение статистикой S„„ порога С даже в случае, если за оставшиеся по-п шагов случайная величина г будет принимать максимальные значения, либо может произойти превышение порога С величиной Sn, необходимость в дальнейших наблюдениях также отпадает.

С учетом сказанного последовательная усеченная процедура определяется следующим правилом: на п-м шаге испытаний принимается гипотеза Яо, если

5„= Е ГгС-т{по-п), 1=1

принимается альтернатива Ни если

(9.28)

5„:= Е Гг>С,

в противном случае испытания продолжаются.

Таким образом, предполагается наличие двух порогов: верхнего - постоянного и нижне-

Рис. 9.8. к иллюстрации рангового последовательного усеченного правила обнаружения

(9.29)

область альтернативы н.




го - переменного. По мере роста числа наблюдений п пороги сближаются и на «о-м шаге наблюдений оказываются равными, т. е. двухпороговый последовательный обнаружитель при усечении переходит в однопороговый Неймаиа - Пирсона.

Рис. 9.8 иллюстрирует описанное правило обнаружения. На рисунке показаны две возможные «траектории» статистики S, когда решения принимаются за число шагов, меньшее по. Характерные точки п и п" определяются из соотношений

+ 1.

, п = По -

Определить статистические характеристики последовательной процедуры можно, зная функции распределения числа испытаний.

Особый интерес представляет распределение длительности при справедливости гипотезы Яо и малых вероятностях ai (<10-). Этот случай является характерным для радиолокационного обнаружения, и последовательный анализ при этом оказывается наиболее эффективным.

Рассмотрим распределение статистики на первом шаге процедуры

/п -j- 1

Вероятность не закончить анализ на первом шаге (перейти ко второму)

рг= 2 P(S.),

S=B+1

где В - значение нижнего порога на первом шаге, причем

С-т(По-1), C-m(n-1)>0;

О, С-т (и-1X0.

Соответственно вероятность закончить анализ на первом шаге Pi = l-р1.

Распределение статистики Si при условии перехода ко второму шагу, т. е. при условии, что SiB+l на основании формулы для условной вероятности

(т+ l)pi

На втором шаге распределение суммы S2 = ri-fr2 можно определить сверткой

Pis,)= S Piis-i)- . (9.31)

Вычисляя аналогично (9.30) распределение накопленного за второй шаг значения статистики S2 при условии перехода к третьему шагу и используя далее формулу свертки, можно найти распределение для суммы 8з=Г1+Г2 + Гз и т. д., для любого п можно



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95