 |
 |
 |
 |
нале для распределений помехи и смеси сигнала с помехой (8.39)- (8.42).
Математическое ожидание статистики (8.58) при нефлуктуиру-ющем сигнале и дисперсия статистики при отсутствии сигнала соответственно равны:
Отсюда эффективность оптимального теста в соответствии с (8.27)
п-*оо п ( од ) q=o
Для флуктуирующего сигнала еопт=1.
Вычисление асимптотической относительной эффективности РО (8.26) с использованием выражений для математического ожидания статистики и дисперсии (8.56) и (8.57) дает
e==J--!-. (8.59)
«опт 4 1 -f- 2 П
Таков же результат и для флуктуирующих сигналов.
Асимптотическая величина потерь - проигрыша в требуемом пороговом отношении сигнал-помеха одного (1-го) обнаружителя другому (2-му) - определится как
n„=lim?ig,
где i(t=l, 2)-отношение сигнал-помеха, необходимое t-му обнаружителю для обеспечения заданных значений и oi при фиксированном числе наблюдений п.
Поскольку при некогерентной обработке пороговое отношение сигнал-помеха связано с числом наблюдений соотношением qfiillYn, асимптотические потери могут быть выражены через АОЭ как
/7co=ei,2, или в децибелах Яоо=-51gei,2.
(8.60) (8.61)
В табл. 8.1 приведены значения коэффициента асимптотической относительной эффективности по отношению к оптимальному об-
Таблица 8.1
0.25 | 0,625 | 0.68 | 0,705 | 0,75 | |
Я„, дБ | 0,87 | 0.76 | 0,62 | ||
Рис. 8.9. Зависимость асимпто- п.дБ шческих потерь от размера опорной выборки рангового некогерентного обнаружителя по сравнению с оптимальным
------0,Б2
наружителю и соответствующие потери (8.59) и (8.61) для различных т. График зависимости Т1ао(ш) представлен на рис. 8.9. Результаты при т=1 соответствуют знаковому обнаружителю.
8.6. Бинарный ранговый обнаружитель
Двоичное накопление сигнала (логическая обработка), как известно, получило широкое распространение в практике обнаружения сигналов. При бинарном накоплении упрощается аппаратура, в то же время потери в пороговом отношении сигнал-помеха по отношению к линейному накопителю за счет дискретизации сигнала невелики.
Рассмотрим РО, в котором использовано бинарное квантование рангов [76]
1. 0>Ci
0. n<Ci
где Ci - порог квантования.
На векторе бинарно-квантованных рангов К= {К\, Кч, Кп) строится статистика обнаружителя S(K). Бинарный ранговый обнаружитель (БРО) оказывается значительно проще в реализации оптимального рангового и основанного на сумме рангов (особенно это относится к обнаружителям последовательного типа и адаптивным), хотя по характеристикам практически не уступает последнему.
Отношение правдоподобия для вектора к при независимых испытаниях запишется в виде
1-рЛ"-*!
(8.62)
Р(КЯо) \ро) \1-РоУ
(8.63)
где po = /(ri>CiЯо), pi = P(ri>Ci\Hi) - вероятности превышения рангом порога квантования Ci при гипотезе Но и альтернати-
ве Я] соответственно, k= 2 ki - число случаев, когда ri>Ci за
п наблюдений. Из (8.63) непосредственно следует алгоритм обнаружения
Ро 1 - Ро
log С.
который сводится к подсчету числа единиц к и сравнению его с порогом Сг, т. е.
S= 2 iC,C, = flogC-nlogLW(log-1-Ро/
(8.64)
Статистика теста, определяемая числом превышений рангами порога Cl, распределена по биномиальному закону
(8.65)
р(5я,) = ( « )pИl-P)"- /=о, I.
(8.66)
Вероятность ро от распределения помехи не зависит: m - Ci ~ т+1
Здесь принято во внимание, что вероятность получения любого
значения ранга независимо от помех одинакова: Р{гг\Но) = -~
[см. (8.34)]. Следовательно, порог принятия решения С, определяемый из уравнения
«1=2 P{S\H,), (8.67)
для заданного значения вероятности cj постоянен и не зависит от вида и параметров распределения помехи. Иными словами, БРО является непараметрическим.
Вероятность правильного обнаружения
D= i P{S\H),
(8.68)
зависит от порога квантования Ci и распределения смеси сигнала с помехой. В связи с этим возникает задача выбора оптимального значения Сюпт, максимизирующего вероятность D при заданной ai для фиксированного распределения смеси сигнала с помехой. Определение Сюпт в общем случае аналитически не представляется возможным и может быть найдено численным методом, т. е. по результатам расчета D для различных значений Сь
Будем полагать, что ведется обнаружение сигнала, распределение смеси которого с помехой выражается плотностями (8.40) - (8.42) на фоне помехи с
Рис. 8.10. Зависимость вероятности обнаружения от порога квантования
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95