 |
 |
 |
 |
При коррелированной помехе распределение статистики Sn отличается от биномиального, которое имеет место в случае независимых наблюдений. Порог обнаружения С будем определять по заданной аь используя распределение статистики, справедливое для аппроксимации последовательности {ki} односвязной цепью Маркова.
Это распределение статистики
P{Sn=l\Ho)=P{l, т, п, Си Рп) (10.35)
зависит от размера опорной выборки т, числа наблюдений п, порога квантования С\ и вероятности появления единиц в двух смежных периодах наблюдения Рп=Р(к{ - 1, ki+i=l\Ho)=P{ri>-Cu ri+\>Ci\Ho). Таким образом, хотя при марковской помехе РО утрачивает непараметричность, уровень априорной неопределенности сводится к незнанию одного скалярного параметра Рц.
Порог обнаружения С по заданной вероятности d находится как корень уравнения
«1= S PiSr,,=im.
l=C+l
Для адаптации обнаружителя и стабилизации а необходимо оценивать вероятность Рц и устанавливать порог обнаружения по результату этой оценки в соответствии с зависимостью С=С{Рп).
Найдем функцию распределения числа испытаний обнаружителя и далее среднее число испытаний. При большой асимметрии информационных каналов, когда вероятность наличия сигнала в каком-либо из них много меньше вероятности его отсутствия, особый интерес представляет распределение длительности процедуры при гипотезе Но. Это объясняется тем, что общее время наблюдения по всем анализируемым каналам в основном определяется временем принятия решений в «пустых» каналах.
Обозначим через Лп
событие, состоящее в том, что значение статистики Sn на п-м шаге лежит вне порогов - вне полуинтервала [С-(по-п). С], а через Л„ - событие, состоящее в том, что значение статистики находится между порогами - внутри этого полуинтервала. Вероятность непринятия решения на первом шаге при гипотезе равна вероятности попадания Si в полуинтервал (С-(по-1), С], т. е.
Р(Л)= 2 P(S=l\H,). (10.36)
С-(п„-1)-1-1
Заметим, что на первых шага< («=1, 2, п-1), когда значение С-(По-п) отрицательно, нижний порог равен нулю [см. рис. 9.8 (при т=1)].
Поскольку порог на каждом шаге процедуры увеличивается на единицу и максимальное увеличение статистики за один шаг тоже равно единице, то событию Лг, состоящему в попадании 270
статистики Sj в полуинтервал (С-(по-2), С], неизбежно предшествовало событие Al. Поэтому можно записать
Р(1,2)= 2 P{S,= l\Ho). (10.37)
/=С- («„-2)+l
Апостериорная вероятность непринятия решения на втором шаге (при условии непринятия на первом)
P(A2\Ai) =Р{Аг, А2)1Р(Аг).
Аналогично для третьего шага
Р(Л.Л, Лз)= I Р(5з=/Я„).
г=-с-(п„-з)+1
Р Ш\,А1) = Р (А.2. з)/ (1. Л). Для п-го шага
Р(Л.Л,.... ,Л„)= I Р(5„=ЛЯ„), (10.38)
/=С-(«„-п)41
Р (Л„Й„-1,..., Л) = Р (Ль Лг, ... , Л„)/Р (ЛД,, ... , Л„ 1).
Условная вероятность принятия решения на я-м шаге при условии непринятия решения на предыдущих шагах
Р(Л;Л„-,.....Л1)=/-Р(Л„Л„ 1, .... Л,) =
= 1-Р(Л1, Л2, .... Л„)/(Р(Ль Л2.....Л„ 1).
Отсюда безусловная BcpoHiHocTb принятия решения на я-м шаге
Р(я)=Р(Л„, Ап-и .... Ii)=P(Ji, Л2, .... Лп-1)[1-Р(Л1,
Лг, .... Л„)/Р(Л,, Лг, .... Л„ 1)]=Р(Ль Л2, .... An-i) -
-Р(Ль Лг, .... Ап)=Р(Ап-1)~Р{Ап). (10.39)
Функция распределения длительности процедуры
"(0= 2 Р{п). (10.40)
Математическое ожидание числа испытаний одноканального обнаружения
Ж(я) = п= 2 яР(я)- 2 [1-Р(01- (10.41)
Дисперсия числа испытаний
2 [я-Ж(я)рР(п). (10.42)
Таким образом, расчет характеристик последовательной одно-канальной процедуры сводится к вычислению P(Ai), Р(Л2), ...
.... Р{Лп) в соответствии с (10.36), (10.37), (10.38) и с использованием выражения (10.35), вычислению Р{п) в соответствии с (10.39) и определению ФР длительности и ее параметров по (10.40)-(10.42). Использование соотношения (10.35) предполагает известным параметр Рц, он может быть найден из выражения для двумерного распределения рангов P(ri, Г2Яо), которое, в свою очередь, выражается через одномерную G{x) и двумерную G(xi, Xi) функции распределения.
На рис. 10.8 приведены зависимости Я/по от коэффициента корреляции р помехи для различных по и ш при одноканальном обнаружении детерминированного сигнала на фоне рэлеевской коррелированной помехи. Для обеспечения указанных величин ai каждому значению р соответствует свой рассчитанный порог обнаружения С.
Когда задача обнаружения решается параллельно в N идентичных каналах, среднее число наблюдений такой многоканальной последовательной процедуры определится как
Результаты расчета среднего числа испытаний многоканального обнаружителя приведены на рис. 10.9. Кривые рис. 10.8, 10.9 могут быть использованы для оценки выигрыша последовательной усеченной ранговой многоканальной процедуры обнаружения при различном числе каналов и значении коэффициента корреляции помехи по сравнению с однопороговой процедурой Неймана - Пирсона того же качества по вероятностям ложной тревоги и правильного обнаружения.
В заключение следует отметить, что последовательное усеченное правило может быть использовано при знаковом обнаруже-
08 ОС Ok 02
о) | ||
По =20 |
Рис. 10.8. Зависимости относительного среднего числа наблюдений от коэффициента корреляции помехи для адаптивного усеченного рангового обнаружителя
Рис. 10.9 Зависимости относительного среднего числа наблюдений от числа каналов для адаптивного усеченного рангового обнаружителя
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95