 |
 |
 |
 |
Пусть далее сигнал принимается на фоне аддитивной помехи, представленной совокупностью п случайных распределенных по
гауссовскому закону выборочных значений ..... где
Aii==0. Корреляционную матрицу помехи
Ап=Мт-г) = \\тгА\, пц,М(Ш
будем считать равной
А„=еА, trA=l, e=trA„, (6.2)
где А -полностью известная нормированная корреляционная матрица помехи; е - неизвестный параметр, определяющий интенсивность (среднюю энергию) помехи; tr - след матрицы. Здесь и в дальнейщем «орреляционная матрица помехи предполагается невырожденной.
В соответствии с минимаксным критерием оптимальности задача состоит в отыскании решающего правила над выборочными значениями смеси сигнала и помехи x=s+g, обеспечивающего при заданном ограничении вероятности ложного обнаружения максимум минимальной мощности в областях значений неизвестных параметров е= (v, е):
t2i={v, e:y=(v/e)Yo- 0<е<оо} (6.3)
при заданной «уо-
При произвольных "v и б параметр q=iiy= (\/Е)аАга имеет смысл отношения сигнал-помеха на выходе оптимального линейного (цифрового) фильтра с весовой функцией w=A"a, максимизирующего выходное отношение сигнал-помеха. В частности, при А=п-Ч„ q=ny, так как (7=vaa/n"e=v/a, где - дисперсия входного стационарного независимого (белого) гауссовского шума, а In - единичная матрица порядка п.
Здесь \i - энергетический выигрыш в отношении сигнал-помеха согласованного фильтра:
/Сэ=<?/7=р.=аГА-а.
Вместе с (6.3) имеются ввиду два вида ограничения на вероятность ложного обнаружения: равенство заданному уровню независимо от значения неизвестных параметров помехи
a(e)=const(7)=ao при беОо (6.4) или ограничение ее сверху заданным значением
ai(0)<ao при esQo, (6.5) где область неизвестных параметров при гипотезе
Qo={v, e:Y=0, 0<е<оо}. (6.6)
Указанный критерий оптимизации тесно связан с критерием, предусматривающим обеспечение гарантированного значения вероятности правильного обнаружения DDo при наименьшем пороговом значении yo=yomin отношения интенсивностей сигнала и помехи y=v/e, а также при всех yVo-84
Более кратко задача сводится к проверке сложной статистической гипотезы Но: у= против сложной альтернативы Нг. уТо. где y=vjie при неизвестных v и б.
Выбор области Qi сделан, в частности, в соответствии с тем, что в рассматриваемом случае при известных v и е наиболее мощное решающее правило уровня а есть
а-А-хс, (6.7)
которое является равномерно наиболее мощным правилом уровня а при неизвестном v и известном е. Огибающая функции мощности (Рог (6) таких правил при различных v и е зависит только от у= =v/e. Таким образом, область значений 6= (v, е) вида Рог(6)Ро с точностью до Yo эквивалентна (6.3).
Обнаружение детерминированного сигнала при фиксированной вероятности ложного обнаружения. В этом случае условные плотности распределения вероятностей входной выборки при наличии и отсутствии сигнала:
Pi(xv, е) =
- {2лгГ"" \АГехр [ - (2е)- (х - j/vа)А" (х - Vva)] = = (2яе)-" А-/ехр[-(2е)-1 (хА" x~2/vxA- a-fvi)],
(6.8)
Ро(хб)= (2ле)-"/ АГ/ехр [ - (2е)- хА" х]. (6.9)
где A==detA, р=аА~а. Здесь ро(хе) -экспоненциальное семейство с параметром б~ и минимальной достаточной для е статистикой
f=ie(x) = xA-x. (6.10)
Рассмотрим вначале оптимальное решающее правило среди подобных правил [с фиксированной вероятностью ложного обнаружения (6.4)] для произвольных фиксированных значений параметров v=Vo и е=Бо. Оно имеет вид
Pi(xVo. е,) gjj
Ро(хео)
ехр[ (VVohG) A-ia-vop/2eo} C(t), (6.12)
где ==хА-х.
Логарифмируя обе части неравенства (6.12) и перенеся в правую часть независящий от х член vo {х/2бо и постоянные коэффициенты, получаем
xA-aCi(0. (6.13)
Корадо В, А. Об оптимальном обнаружении сигналов при воздействии помех с неизвестными параметрами Радиотехника и электроника. - 1969. - Т. 14, № 2. - С. 239-248.
функция Ci{t) определяется из условия at=ao при всех t, где at - условная вероятность ложного обнаружения для правила (6.13) при условии, что x2A-x=f. Функцию Ci{t), следовательно, можно было бы искать прямым методом, вычислив условное распределение для хА~а при условии xA-x=f=const и отсутствии сигнала. Однако нетрудно убедиться в том, что в рассматриваемом случае Ci{t)cyT, где С - коэффициент, зависящий от оо.
Действительно, поделив обе части (6.13) на находим, что статистика хАа/Vx*А-х не зависит от е, а следовательно, и от статистики t.
В рассматриваемом случае единственное оптимальное подобное решающее правило имеет вид
хА-1а>С1/ хА-х,
что эквивалентно
(хГА->а)2>С1хГА-1х, хА-а>0, Ci=C
(6.14)
(6.15)
Здесь и нередко в дальнейшем под решающим правилом условно подразумевается критическая область этого правила, т. е. область принятия решения в присутствии сигнала.
Как видно, решающее правило (6.14) не зависит от vq и ео и, следовательно, является особым случаем минимаксного правила - равномерно наиболее мощным правилом среди подобных, т. е. обеспечивающих постоянство вероятности ложного обнаружения при любых изменениях интенсивности помехи е. Таким образом, правила (6.14) и (6.15) являются решением поставленной задачи обнаружения сигнала как при известной, так и неизвестной его интенсивности v.
Тот же результат можно получить, если вместо (6.11) использовать вариант записи правила решения в виде jPi(xjvo, 8о)>С().
Правило (6.14), очевидно, является оптимальным подобным при самых различных предположениях об априорных сведениях относительно V и е. На рис. 6.1 дается пример геометрической интерпретации оптимального решающего правила (6.14) при п-2. Показаны вектор сигнала, эллипс Po(x)==const и оптимальная решающая область (заштрихована). Как видно, оптимальная решающая область для рассматриваемого случая существенно отличается от таковой для правила Неймана - Пирсона при известной интенсивности помехи. Граница последней для сравнения приведена на рис. 6.1 штриховой линией.
В частном случае aj=ao и А= = п-Ч„, где In - единичная матри-
Рис. 6.1. Пример критической области ОРП обнаружения сигнала на фоне помехи с неизвестной интенсивностью
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95