 |
 |
 |
 |
1ЯТН0СТИ Pr{-) при гипотезе Но выражаются через одну - (1. 1).
Для двухсвязной модели и знакового теста с использованием принципа включения - исключения при гипотезе Яо получим
Р. (1,1.1) = 0,0) = J J J G (дгь Х2, dG {xi, x.xs); Р41,1.0) =РЛО, 1,1) = j j G (Хь Хг) (хь Хг)-, -JJJG(XbX2,X3)dG(xi.X2.X3); (10.9)
Р41,0,0) =РЛО. 0,1) = J G(х)dG{х)-- J J G (л;,, Хз) dG {Хг,Хг)~ j J G (x,. X2)dG (x,. Хг) + rf- J П G (xi, X2, Хз) JG (x,, X2,Хз); P«(1.0,I)=P«(0,1.0) = jJG.(x,,X2)JG.(x,,X2)-
~~ I И (b X2, Хз) dG (Xi, X2, Хз) .
Одно- и двумерные вероятности по-прежйему определяются (10.5). Из (10.5) и (10.9) следует, что все вероятности выражаются через две-Р«(1,1) и РЛ1Л.1):
1.0)=РЛ0,1, l)=Ps(I,0,0) =РЛО.0,1) =
=РЛ1.1)-РЛ 1.1.1);
Ps{i,o. 1)=Р40,1.0) =7 +Рв(1.1, i)-2P«(i. 1);
РЛ0,0,0)=РЛ1,1.1). (10.10)
при альтернативе Hi
Ps(l, 1, 1) = j j J G(XbX2,X3)JP(XbX2,X3);
Ps (0,0,0) = J J J [1-G (xi) -G (X2) -G (хз) +G (X,, X2) + ,+iG (xi, Хз) +G (X2, Хз)-G (x,, X2, Хз) }dF (x,, X2, Хз); РЛ1,0,0) = РИО. 0.1) = P«(0.0) = P« (0.0,0);
Ps(i, 1,0) -РИО, 1.1) =P4i, 1) -РЛ1.1.1); (1011)
РЛО, 1,0) -РЛ1,о)-р«(1,1,0)=РЛ1)-2РЛ1.1)+РЛ1,1.1); РЛ1, о, 1) = рл 1,0)-рл 1, о, 0) = рло, о. 0)-2РЛ1,1)+ +зРЛ1)-1.
Одно- и двумерные вероятности по-прежяему определяются (10.6).
Для двухсвязной модели и рангового теста при гипотезе Я(, i=0, 1 имеем
РЛ1)= 2 Р{гШ РЛ1.0)-
т с,
= 22 Р{Гг, г,Я,); РЛО. 1. 1) =
Cl тп т
= 2 2 2 Р(Гг, г,. ГзЯ,). (10.12)
г,=0 r=Ci+l r,=C,-J-I
Виленкнн Н. Я. Комбинаторика. - М.; Наука, 1969. -327 с.
Остальные вероятности выражаются аналогично через одно-, дву-и трехмерные распределения рангов, которые, в свою очередь, могут быть определены через ФР при гипотезах G{x); G{xi, Х2); G{xuX2,X3); F{x); F(xuX2); Р{хиХ2,Хз). Из очевидных соотношений
Pr{Q)+Pr{l) = l;Pr{0,0)+Pr{l,0)=Pr{0);
Р.(1,1)+Р,(0,1)=Р.(1);
P.(1.0)=P.(0,1); Pr{l, 1.0)-f P.(l. 1, l)=Pr(l. 1);
P.(1,1.0)=P.(0,1,1);
Pr{0. l,0)-f P,(0,1,1) =P,(0,1); Pr{0,0,1)+P,(0,0,0) =P.(0,0)
следует, что все результаты могут быть выражены через четыре вероятности, например Рг(1), Рг(1. 1), Рг{1, I, 1) и Рг{0,0,0), как
Р,(0) = 1-Р,(1); P.(0,1)=P.(I.0)=P.(1)-P.(1,1);
P,(0,0)-1-2P.(1)+Pr(l.l);
Pr{h 1,0) =Р.(0,1,1) =Р.(1,1)-P.(1.1.1);
Р.(0,1,0)=Р.(1)-2Р.(1.1)+Рг{1,1,1);
P,(0,0,l)=Pr(l,0,0) = l-2P,(l)+Pr(l.l)-/r(0,0,0);
Р.(1.0,1) =3P.(1)-2P.(1.1)-ЬРг(0,0,0)-1.
Поскольку при гипотезе Яо Рг(1)= {т-Ci)/{т+1), то все вероятности выражаются через три, например Рг(1,1), Рг(1,1,1) и Р.(0.0,0).
Распределения статистик. Найдем распределения статистик (10.1) и (10.2), использовав основные понятия теории серий. Как известно, в перестановках из п элементов серий называется группа рядом стоящих элементов одного типа. Длина серии определяется числом элементов в группе. Обозначим через ti (t=0; 1) - количество серий из элемента i, а через ti} {i=0; 1, /=1, п) -количество серий из 1-го элемента длиной /. Например, в последовательности 1001110110011 ti=4, to=3, п=1, i2=2,
01=1.
Рассмотрим односвязную марковскую модель для последовательности ki, k2,..., kn, содержащей щ единиц и По=п-т нулей. Если в векторе ti и о серий, то число комбинаций «И» равно ц= = «1-1. Заметим, что в серии единиц длиной / содержится /-1 комбинаций «11». Например, в серии 1111 содержится три комбинации. Число комбинаций «00» \=По-о. Числа комбинаций «01» g и «10» т зависят от типа вектора. В векторе 1-го типа (1... 1) число комбинаций «01» равно числу нулевых серий, т. е. т=о-Число комбинаций «10» равно числу серий ti, уменьшенному на единицу (последняя серия не образует комбинации «10»), т. е. т=1-1. Аналогично в векторе 2-го типа (0... 0) т=о-1, (t=/i.
Виленкин Н. Я, Комбинаторика. - М.: Наука, 1969.- 328 с.
в векторе 3-го типа (О... 1) каждая нулевая серия образует комбинацию «01» и каждая единичная серия, кроме последней, - комбинацию «10», т. е. x=ti-1, о=1о. Аналогично в векторе 4-го типа (1 ... 0) o=io-1,1:=1.
Нетрудно показать, что число векторов t-ro типа {i-l, 2, 3, 4), содержащих п единиц, По нулей, ti и to серий, определяется через число размещений tv-1 точек на щ-1 позициях и to-J точек на По-1 позициях как [88]
"1 - 1 \
Qi («1. «0. i. о) =
Y2 =
(10.13)
1, <2-о=1
Ю, ti-t,i,
[0,t,-l,l, \0,to¥=ti,
где у учитывает, что и to могут отличаться не более чем на единицу.
Вероятность появления вектора i-ro типа из щ единиц, По нулей, tl и to серий определится как вероятность вида (10.3) (с соответствующими значениями о, т, р, v), взятая Qi раз:
Рг(«Ь «С. tu to) =Рг(к, О, Т, V, р) Qi («1, «О, tu о) . (10.14)
Суммируя (10.14) по tl, to и i, для распределения статистик (10.1), (10.2) получаем
P(S = ni) = 2 2 2 РЛп„ п„ t„ to). (10.15)
Распределение (10.15) можно представить в развернутом виде, воспользовавшись соотношениями для Qi, о, т, v, jx:
p(i) J
P(0, 0)
""fp(l)
•P(l. 0)
L P(0) J I L P(l)
P(i, 0) no-i Г p(o, I)
P(0. 1) i<. P(0) J
-fP(O)
+РФ)
L P(l) J
P(l. 0)
P(l) J P(l) -I
P(0)
1-1 r P(0. 1)
P(0) J
72 +
73 +
P(0, 1)
(10.16)
L P(0)
Перейдем теперь к двухсвязной марковской модели. Для нахождения чисел р и V воспользуемся выражением для числа единичных комбинаций bih из k элементов (см. [88]):
bift=n.-(*-l)f,+ V (k-\-i)tii. (1017)
9-186
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95