Запорожец Издания
ривать помехи как белый шум. Такое рассмотрение обеспечивает достаточную точность расчета и существенно упрощает расчетные соотношения. 2.10. Полигауссовская модель негауссовских помех (сигналов) Гауссовские модели, во многих случаях имеющие важное практическое значение, позволяют с достаточно хорошим приближением аппроксимировать реальные помеховые процессы. Однако не всегда можно использовать гауссовские модели. Помехи, создаваемые радиосредствами (системные помехи), атмосферные и индустриальные помехи и многие другие имеют распределения, отличные от гауссовского. Многие виды случайных сигналов также отличны от гауссовских. В реальных информационных системах условия передачи и распространения сигналов, равно как и условия возникновения помех и их воздействия на обнаружитель сигналов, недетермини-рованы и бесконечно разнообразны, поэтому адекватное описание входного колебания приемника одним из небольшого конечного набора стандартных распределений вероятностей не всегда возможно. Гораздо большие возможности для описания реальных сигналов и помех представляют вероятностные смеси стандартных распределений, иногда называемые рандомизированными распределениями. Благодаря известным достоинствам гауссовских распределений для статистической теории радиоприема при произвольных флуктуациях сигналов, помех и возмущающих воздействий наиболее удобными оказываются смеси именно гауссовских распределений - так называемые полигауссовские модели [20, 21]. Случайный сигнал (или помеху) называют полигауссовским, если соответствующие функции распределения вероятности W(-) и плотность вероятности ш(-) представимы смесями гауссовских в дискретной форме W{-)ig„WA-); w{-)igwAy, 2 9n = U (2.25) n=l n=l n=l в непрерывной форме W{-)fii wg{-)dG; w{-) wg{-)dG; dG=l (2.26) или в дискретно-непрерывной форме (•)« 29n pG„(-)dG„; ш(-)л S qnlwcn{-)dG„; n-l n=l z\nldG = l, (2.27) где Wn(-), Wg(-) и Wcni-) - гауссовские распределения вероятности; an(-), йУс(-) и WGn(-) - гауссовские плотности веро- ятности, различающиеся или средними, или ковариациями, или и гем, и другим, а «взвешивающие» сомножители {Qn}, dG и t?G„ имеют смысл вероятностей и удовлетворяют условию нормировки. При полигауссовских представлениях, в отличие от известных ортогональных разложений [1, 3], каждое слагаемое в (2.25) - (2.27) имеет определенное теоретико-вероятностное содержание, поэтому возможны полигауссовские представления с любым числом компонент, удовлетворяющие всем аксиомам теории вероятностей. Присущие радиосистемам особенности зачастую естественным образом порождают полигауссовские представления сигналов и помех. Так, многообразие типов передатчиков и неизбежные флуктуации параметров аппаратуры приводят к выражению для плотности вероятности сигнала на входе приемника (х) = 29г I ]яп(т, о)N{X, т, о}dmdо, (2.28) n=I " о -оо где Лт - число различных типов входящих в систему передатчиков; 9т„ - вероятность включения передатчика и-го типа; Л{л;, т, а} - гауссовская плотность вероятности со средним т и дисперсией 0; qn(tn, 0) - совместная плотность вероятности случайных величин т и а. Библиография по смесям гауссовских распределений насчитывает сотни работ, а последние годы характеризуются интенсивным использованием гауссовских распределений в прикладных задачах, особенно в статистической теории связи и управления, в теории распознавания образов и др. Обращаясь к математическому и физическому содержанию полигауссовских моделей, прежде всего отметим, что использование систем гауссовских процессов при полигауссовских представлениях случайных сигналов и помех не означает разложения отдельных реализаций этих сигналов и помех по элементам гауссовско-го базиса, как при известных представлениях Карунена - Лоэва, Котельникова, Пугачева; напротив, все возможные реализации сигналов и помех используются в неизменном виде. На множестве всех возможных реализаций негауссовских сигналов и помех определяются некоторые гауссовские распределения вероятности. Физическое содержание полигауссовских моделей можно представить следующим образом. Как известно, все рассматриваемые в теории вероятностей случайные явления имеют место при соблюдении определенного комплекса условий, что и является основой их статистической устойчивости - теоретико-вероятностной однородности. Возможность представления тех или иных случайных явлений смесью некоторых типовых, в частности гауссовских явлений, отражает возможность дополнения, усиления исходного комплекса условий таким образом, что эти частные случаи комплекса условий приводят к типовым случайным явлениям; при этом результирующий комплекс является относительно широким. Если эти условия плавно переходят друг в друга, имеем смесь типа (2.26), если дискретно, то смесь типа (2.25), а если комбинированно, то (2.27). Практически все возможные в радиосистемах сигнально-помеховые ситуации не противоречат подобным представлениям. Итак, наряду с гауссовскими и марковскими моделями, которые находят наиболее широкое применение в статистической теории обнаружения сигналов, весьма полезны полигауссовские модели. 2.11. Полигауссовская модель при одинаковых значениях дисперсии гауссовских компонент При анализе случайных процессов с использованием полига-уссовских моделей одним из важнейших вопросов является определение параметров модели. Для обеспечения требуемой точности полигауссовской модели в общем случае требуется определить необходимое число гауссовских составляющих Л", формирующих модель, «взвешивающие» множители q-n, а также параметры каждой п-й составляющей: математическое ожидание т„ и дисперсию ап- Эта задача, которую можно назвать задачей декомпозиции, для общего сдучая рассмотрена в [50]. Когда требуется найти все эти величины, решение при большом оказывается достаточно трудоемким. Заслуживает внимания более простой случай, который для многих задач дает хорошие результаты. Будем считать, что в смеси типа (2.25) Ni самых «узких» компонент имеют одинаковые дисперсии 01 = 02= ... =ajv, =0*mtn. - ехр (2.29) Используя метод «уменьшения дисперсии» [20], вычисляем тотт - преобразование» плотности w{x); -ехр + 2 -1К2д(о,„-Х«) = 2?n6(x-mJ+ 2 - 2(о-<4.„) (2.30) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
|