 |
 |
 |
 |
где B=[Ai, а] - матрица размером NX{W+l); г)=[в, U] - вектор размерностью W+1 из неизвестных параметров помехи и сигнала; а= (flii, .... ajv) - вектор полезного сигнала размерностью
с компонентами aj=::jexp[(icoc(/-f=l, .... Л, нормированный условием la = a*a=l.
Согласно критерию ОМП [65] решение о присутствии полезного сигнала в наблюдаемой выборке Y принимается при выполнении условия
sup liiQ, е, f V. Y) (6. е. ЩеНг
sup 4(6. e/Y, Y) (в, е)еН.
С, (7.16>
где пороговая константа С определяется заданным значением ао наибольшей вероятности ложных превышений порогового уровня в пространстве возможных значений модельных параметров в помехи.
Задача нахождения решающего правила отношения максимумов правдоподобий (РП ОМП) сводится к максимизации функций правдоподобия h и k относительно переменных , е, U и
в, 8 соответственно при фиксированных Y, У. Для решающих правил на основе критерия ОМП характерен ряд достоинств: 1) асимптотическая (при N-*-oo) оптимальность, т. е. обеспечение при неограниченно возрастающем объеме выборки наименьшей величины порогового отношения сигнал-помеха; 2) инвариантность к группе преобразований, к которым инвариантна задача обнаружения; 3) асимптотическое (при N-oo) подобие, т. е. независимость вероятности ложных тревог от неизвестных параметров помехи; 4) возможность нахождения в явном виде структуры РП для любой параметрической задачи, либо получения уравнений для оценки максимального правдоподобия неизвестных параметров; 5)простота нахождения асимптотических (Л-*-схэ) характеристик обнаружения. К этому следует добавить также, что РП ОМП всегда является функцией достаточных статистик, если последние существуют [65].
Рассматриваемая задача инвариантна относительно группы изменений масштаба в наблюдаемой выборке Y, и поэтому РП ОМП автоматически должно обеспечивать независимость ВЛО от величины 8 неизвестной интенсивности помехи. Инвариантные свойства РП ОМП позволяют в некоторых случаях по структуре РП находить группу преобразований, к которой инвариантна данная задача, что, в свою очередь, облегчает нахождение строго оптимальных инвариантных критериев.
Для определения экстремума логарифма функции правдоподобия при гипотезе Яо продифференцируем (7.14) по параметрам в* и е, согласно правилам дифференцирования комплексных пере-
менныхПредставим сумму 2 -Ав j 2 в виде
Тогда, приравнивая нулю производную дк/д*, находим оценку максимального правдоподобия (МП) вектора в параметров АР при условии справедливости гипотезы Яо:
/т+1 , \
e = (2A,A,j
-1 m+l ,
2 AftY,.
fc=l
W X W-матрица;
(7.17)
A\Y=
Здесь A*feAb= 2 Yt-ukYt-Lh <=i
=2 Y*t ii/tb -вектор размерностью W; Ytk=iyth.....yt-w+i.k) -
вектор размерностью W. Оценка МП в является решением системы из W линейных уравнений
26=Ь,
m+l /т+1 N \
S = (о„г) = 2 А А = 2 2 Сп. k yti. k - Wx l-комплексная матрица,
m+l m+l N \
b = (6j= 2 A.Y = ( 2 2у*ьУ; *=1 \ft=l<=l
i-n, k
(7.18)
(7.19)
(7.20)
- комплексный вектор размерностью W.
Система (7.18) из W линейных уравнений с W комплексными переменными может быть представлена в виде системы из 2W линейных уравнений с 2W действительными переменными:
(7.21)
Приравнивая нулю производную дЬо/де, полученную с использованием (7.14), находим оценку МП параметра 8 при гипотезе Яо: 1
- ImS | |||||
2 Yb-A,e
Экстремум функции правдоподобия при гипотезе Яо
sup /о (6, 8/Y, Y) = n-f+DV ё-(т+1) N -Im+DN (6. e)sH„
(7.22)
(7.23)
Brandwood В. А. А complex gradient operator and its application in adaptive array theory lEE Proc -Vol. 130, Pts Fand H, N 1, February. -1983. P. 11-16.
Для отыскания экстремума функции правдоподобия при аль-
Учитывая,
уравнений
для оценок МП неизвестных параметров в и С/ при альтернативе Яь
m+l » „ , „ m+l
2 Aft е + А, at/ = 2 a/i Yft, (7.24)
*=i ft=i
a*A,e + 0 = a*Yi.
Отметим, что оценки МП в и О из (7.24) и в из (7.18) являются также оценками по критерию наименьших квадратов со всеми свойствами указанных оценок.
Оценка МП для е при альтернативе Hi следует из (7.15):
шим li-M+s1Y,-aJA (7.25)
где =(Q\ О).
Экстремум функции правдоподобия в присутствии сигнала sup li (9, 8, fZ/Y, Y) = Jt-(«+i) e-(m+i> n e-(m-n> лг (j 26)
(0. E. t/)SH,
Согласно (7.16), (7.23) и (7.26) условный тест ОМП имеет критическую область
Yi-B4l+ 2 Уй-Айв2
fe=2
>С. (7.27)
Решающее правило ОМП можно представить в форме
n m+l
2 2 ltfeP i=l fe=l
>C, (7.28)
Л N m+l
211», -t/flti2+ 2 2 IttfeP
t=l <=1 ft=2
где = - 2 Qj yt-i. k, = ytfe - 2 Qj yt-i. k. /•=1 /=)
Процессы Wtu и U(ft имеют смысл процессов на выходе адаптивных нерекурсивных отбеливающих (режекторных) фильтров с двумя наборами параметров, которые оцениваются по совокупности входных выборок соответственно при условии отсутствия и присутствия сигнала.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95