Запорожец  Издания 

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

~ у,

1 1 /y

Рис. 1.2. Плотность вероятности при гауссовском распределении:

i -0=0,4; 2 - 0=0,707, 3 - 0 = 1,0

Т. е. на каждом скате кривой имеется точка перегиба. Можно показать, что эта точка соответствует х=о.

Нетрудно определить, какая часть возможных значений случайной величины, имеющей га-уссовское распределение, укладывается в интервалы, соответствующие определенным значе-

ниям среднеквадратического отклонения а. В частности, в интервале + 0,67о...-0,67о укладывается 50% всех значений случайной величины; в интервале --1,150...+ 1,15а - 75% всех значений, а в интервале -За... +3а - 99,7 %. Вследствие этого при технических расчетах обычно считают, что в случае распределения по закону Гаусса максимальное отклонение случайной величины соответствует утроенному среднеквадратическому значению. Приняв подобный критерий, в среднем в 997 случаях из 1000, определим значения случайной величины, не превышающие выбранного максимального значения, что для практических целей можно считать достаточным.

Гауссовское распределение отличается одним интересным свойством, какое изложим без доказательств. Пусть случайная величина Г] представляет собой сумму независимых случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения:

Можно показать [1], что величина г\ также подчиняется нормальному закону, причем дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых. В частности, при 11 - 1+12

(Ь) = (К2) ехр (-12/2022) (1.19)

получим, что плотность вероятности для суммарной величины И) (г)) = (1/а V2) ехр {-г]У2а),

где а=а1+а2.

Функция Wi(x), определяемая для закона Гаусса соотношением (1.17), в соответствии с (1.5) представляет собой первую производную от интегральной функции распределения. Интеграл этой функции

F(x)= - lexp{-ix-afl2o}dx (1.20)

ay2л i

называют нормальной функцией распределения.



1.7. Случайные процессы

Случайный процесс характеризуется изменениями какой-то физической величины в некотором пространстве, причем эти изменения управляются вероятностными законами [3]. В качестве математической модели случайного процесса используют случайные функции, которые могут зависеть как от одного, так и от нескольких аргументов. В радиотехнике функция, отображающая случайный процесс, обычно зависит от одного аргумента, а именно от времени 1.

Случайная функция ф() при фиксированном значении аргумента t=ti представляет собой случайную величину j=(j). Поэтому для описания случайных процессов используют те же вероятностные характеристики, что и для случайных величин - законы распределения, плотности вероятности, начальные и центральные моменты. Из моментных характеристик важнейшими являются среднее значение, дисперсия и функция корреляции.

При исследовании случайного процесса для определения зависимости процесса от параметра (аргумента) производится серия измерений в течение достаточно длительного времени. Если, например, нужно изучить шумы на выходе радиоприемного устройства, наблюдаемые на экране осциллографа, то это можно сделать последовательным фотографированием экрана осциллографа в течение достаточного интервала времени и исследования полученных результатов.

Наряду с рассмотрением по времени возможно и рассмотрение по ансамблю. В этом случае производится серия измерений не для одной системы, а для совокупности или ансамбля систем (например, ансамбля приемников), имеющих те же свойства, что и рассматриваемая система. Здесь нужно взять достаточно большое число приемников, идентичных данному, одновременно сфотографировать шумы на их выходах и рассмотреть полученные результаты.

В первом случае (при рассмотрении по времени) можно, например, установить ряд измерений уровня и определить, в течение какой части времени выходной сигнал лежит между данными интервалами уровня. Если требуется найти средние значения выходного сигнала, то используют приборы, осуществляющие интегрирование с достаточно большой постоянной времени. Усреднение по времени должно производиться настолько долго, чтобы при дальнейшем увеличении времени усреднения результат не изменялся.

Во втором случае, т. е. при рассмотрении множества или ансамбля систем, предполагается, что все системы совершенно идентичны и находятся в одинаковых условиях, результат во всех системах регистрируют идентичными приборами и отсчет выполняют в один и тот же момент. Вопрос о том, в течение какого интервала времени нужно производить регистрацию результатов, кото-



рый возникал в предыдущем случае, здесь заменяется вопросом о выборе необходимого числа систем, входящих в ансамбль. Так же как и в первом случае, этот выбор должен быть таким, чтобы дальнейшее увеличение числа результатов регистрации не изменяло характеристик случайной величины.

Функция распределения и плотности вероятности случайного процесса [I, 3]. Рассмотрим ансамбль, состоящий из N систем. На выходе этих систем наблюдается случайный процесс В один и тот же момент t=ti мгновенные значения l(t) на выходе систем будут различны и равны A-<>(fi), xЦtl), .... хЦ). Зададимся некоторым числом Xi и отберем из N полученных отсчетов те ni{xi; ti) величин, значения которых при t=ti меньше xi. Если значение достаточно велико, го отношение п, (atj; ti)fiN можно рассматривать как вероятность того, что КО при t=ti находится ниже заданного уровня Xi:

P{Wi)<Xi}=Fi{xu h)nr{Xu U)IN; Nco. (1.21)

Функцию Fi{xi; ti) называют одномерной функцией распределения вероятностей, для которой принято, что значения {t) рассматриваются в один фиксированный момент.

Частная производная по Xi от функции Fi{xi; h), если она существует, есть одномерная плотность вероятности случайной функции (процесса)

) = {i(i; i)}. (1-22)

Вероятность того, что случайная величина (i) имеет значения, лежащие в интервале :i(fi) <Cxi-{-dxi,

Wi{xu ti)dxi=P{XiUti)<:xi-{-dxi}.

В тех случаях, когда требуется более полная характеристика случайного процесса, используют двумерные функции распределения и двумерные плотности вероятности, характеризующие вероятностную связь между значениями процесса в два произвольно выбранных момента ti и t2-

Пусть значения процесса в эти два момента будут x>{ti), л;(2)(/,),...,xW(fi) и л;(1>(2), л;<=42),...,л;(Ч2). Рассмотрим отношение П2(Х1, Х2; ti, t2)lN для систем, отсчеты на выходе которых не превышают: Xi в момент А и Хг в момент t2-

Тогда при достаточно большом числе систем N функцию

р2{Хи хг, и, t2)-P{Wl)<Xu Ut2)<X2}

n2{xuX2;h,t2)iN (1.23)

называют двумерной функцией распределения.

Производная от этой функции по Xi и Хг, если она существует,

wixi, X,; <1, у=--Ё1-Fjxi.x; <1, Q (1.24)

есть двумерная плотность вероятности. 14



0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95