 |
 |
 |
 |
наименее благоприятных распределений неизвестных параметров е и Y при Яо и Яь а также методом отношения максимального правдоподобия при условии yjYoj. Применение этих методов вполне аналогично их применению для рассмотренных ранее случаев и поэтому подробно здесь не рассматриваются.
Все эти методы при обоих видах ограничения на вероятность ложного обнаружения приводят к минимаксным решающим правилам, имеющим следующую общую структуру:
ПЛЯ2,(х,)1>С. (6.61>
где Aj - отношение правдоподобия для максимального инварианта Zj при наличии только /-й подвыборки. Формула (6.61) следует, в частности, из общей формулы (6.60). В рассматриваемых задачах плотность наименее благоприятной меры параметра е при наличии и отсутствии сигнала представляется в виде произведения шо(8) =ntiyj(8j) =Пе~з. а наименее благоприятное распределение вероятности параметра у в Q] оказывается сосредоточенным в точке Yo= (yoi. - . Yoj)-
В логарифмической форме минимаксные решающие правила (6.61)
2InA5(2jYoi)C, (6.62)
а их локально минимаксные варианты относительно общего параметра р при Y3==pfij
T.-i-Aj{Zj\yj)\o>C. (6.63)
Кроме того, представляют интерес правила для сильных сигналов с критической областью, являющейся пределом последовательности критических областей минимаксных правил при ро->-оо. Отношения правдоподобия максимального инварианта Zj имеют следующий вид для детерминированных сигналов:
Л;/(2;/у;) =
= exp(-(X;Y. + 7-Y;2?;)D „;(-l/.Z,/); (6.64>
и для квазидетерминированных ВЧ сигналов со случайными ф-,
Ajn(ZjiiYj)=exp(-7ijYoj)i(nj, 1; Yojju). (6.65)
где p,j=ajA-jaj и Hj=a*jA-jaj. Фигурирующие здесь функции Dp{x) и iFi{a, р, х) есть соответственно функция параболического цилиндра и вырожденная гипергеометрическая функция [17]. Статистики Zji и Zjii приведены ниже.
Для получения предельных минимаксных решающих правил при слабых и сильных сигналах используются локальные и асимп-102
10тич.еские представления этих функций. При фиксированных Yj = = yoj статистики Zj являются максимальными инвариантами относительно групп преобразований масштаба в подпространствах достаточных статистик, соответствующих j-u подвыборкам.
Соответствующие (6.62) и (6.63) решающие правила для обнаружения указанных выше видов сигналов с постоянными амплитудами приводятся ниже.
Детерминированные сигналы. Минимаксное правило в общем случае:
2 [уоз22д-Ь4InD-n5{-VyiZji)]C, (6.66)
где Zji = xjA-3a/l/xjA~jXj; в случае слабых сигналов (локально минимаксное правило):
2 dj V6j Zj, > С; dj = nj 2(-";+i )/2/Г [(«,• + 2) / 2]; (6.67)
Б случае сильных сигналов (предельное минимаксное правило при ро-оо):
bsZi,e{Zj;)>C- е(л:)= ""
О, л;<0.
(6.68)
Квазидетерминированные высокочастотные сигналы со слу-1айными (pj. Минимаксное правило в общем случае:
S ln,F,(nj, 1; Vo.Z„)>C; г,.п = -=ф= /=1 У АГ х;
(6.69)
случае слабых сигналов:
2nAZ2ji,C; (6.70) /=1
и случае сильных сигналов:
2 63ZnC. (6.71)
Помимо рассмотренных видов ВЧ сигналов представляет ин-icpec также обнаружение квазидетерминированного ВЧ сигнала < общим для всех выборок неизвестным (в том числе случайным) фазовым множителем еЧ. Для получения статистики минимаксного инвариантного к преобразованиям масштаба выборок решающего правила в этом случае достаточно, заменив а, на проинтегрировать комплексный аналог отношения правдо-ггодобия максимального инварианта (6.64) по ф в интервале [О, , что эквивалентно осреднению отношения правдоподобия в • (югветствии с наименее благоприятным равномерным распреде-
лением параметра ф. Соответствующее минимаксное правила UAuii{Zini\y})d>C, (6.72>
где Aj III (Zj 1,11 Уз) = ехр (-fXjYs) ехр (yjZj ,„/2) D 2mj (-KZjm= = 2-«exp (-jx.Yj) {(Кл/Г («,• + 1 /2) ] ,/1 (щ, 1 /2, Vi-i ш) + V 4nyj X X[r(«)]-tZji,ii/i («+1/2, 3/2, YoiZiii)} и 7ш = Ке(х*,А-ьагеф)/ Yx*jA-*jX*j = х*;А->за cos + ф)/ /x*jA-i3Xj, где if5 = =Argx*jA~*ja. В замкнутом виде интегрирование в (6.72) удается провести лишь для случая слабых сигналов (р-0), что приводит к локально минимаксному инвариантному правилу 1 л 2я л? lTl П Луш(2ут1Т;)1р=о>С.
где Yj = p6j, что эквивалентно
2 ",.J4 + 2S Г(-+о Ь)Г,„>+0.5,
/=1 х. Атх; sfc r(rts)r(rtfe)
к Xj А, Xs / Х; Afe Xfc При nj = n, бз=б правило упрощается
х;А7а,
+ К 2 : , >С, (6.73)
у Х. Ау
[п ГМ»)-Гг(п+0.5)] Г2(п + 0,5)
В частности, при п= \ оно эквивалентно правилу
7 >
>С. (6.74>
Статистика правила зависит от Xj/lxj] и ее формирование включает предварительное идеальное ограничение входных комплексных отсчетов по модулю (по амплитуде входного ВЧ сигнала). При. Aj=A и aj=a полученные правила, по существу, являются асимптотически при N-oo и (или) п~оо оптимальными, инвариантными для рассматриваемой задачи. При п-оо /С->-0, что также упрощает правило (6.73).
Для рассматриваемой задачи можно получить также условное (при р-0) правило отношения максимального правдоподобия среди инвариантных. Используя линейную часть Ajni по Zjm нетрудно найти оценку МП для ф:
/ г (rt;) у Ay Xj
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95