Запорожец Издания
чения рангов равновероятны при любых функциях распределения. Поэтому алгоритмы, использующие ранговую статистику, оказываются непараметрическими. Если в выборке содержится смесь сигнала и шума, значения рангов уже не являются равновероятными вследствие возникающей при этом неоднородности выборки. Это позволяет использовать ранговые алгоритмы для обнаружения сигнала. В качестве примера рангового алгоритма приведем соотношение для случая детерминированного сигнала s=s(t), не содержащего постоянной составляющей на фоне аддитивной стационарной помехи, согласно которому принимается альтернатива Hi, если 2 Si4l5(i?i)C, (5.9) где Si=s{ti); Ri - ранг JCi; i,= l,..., n; (/г) - некоторая функция целочисленного аргумента k=l,..., п. В знаково-ранговых обнаружителях используется информация не только о знаках элементов выборки, но и о рангах абсолютных величин этих наблюдений. Учет знаков позволяет улучшить характеристики обнаружения без нарушения непараметрических свойств обнаружителя. Рассмотрим независимую выборку x={xi, Хг, - , Хп), для которой Ri - ранг абсолютной величины элемента Х{. Одна из возможностей обнаружения положительного постоянного сигнала на фоне помех с помощью знаково-рангового алгоритма заключается в сравнении с некоторым выбранным порогом С суммы тех компонент вектора положительных рангов .+г, которые соответствуют положительным выборочным значениям элементов л:,, т. е. значениям Xi>0. Решение о наличии сигнала выносится в том случае, когда Rt>C- (5.10) xt>0 При этом порог с так же, как и в других случаях, выбирается исходя из заданной вероятности а. Алгоритм (5.10) называют алгоритмом Вилкоксона. Следует заметить, что общепринятое разделение алгоритмов на параметрические и непараметрические в определенной степени является условным. Параметрические алгоритмы при некоторых предположениях, которые должны быть оговорены, обладают непараметрическими свойствами. Так, алгоритмы, относящиеся к задачам, соответствующим гауссовскому распределению при неизвестной интенсивности, можно с полным основанием отнести к параметрическим алгоритмам. Однако эти алгоритмы могут иметь непараметрические свойства, а именно при некоторых условиях обеспечивать постоянство ложного обнаружения. Так, например, некоторые алгоритмы, рассмотренные в гл. 6 и 7 настоящей книги, являются параметрическими алгоритмами, отличающимися постоянством ложного обнаружения. Это обстоятельство позволяет сравнивать между собой эффективность непараметрических обнаружителей с определенным классом параметрических обнаружителей. 5.5. Коэффициент асипштотической относительной эффективности Для статистических задач, относящихся к обработке результатов наблюдения, можно предложить различные методы решений. Так, при проверке статистических гипотез об обнаруженнн сигналов в шумах могут быть использованы различные алгоритмы обнаружения и соответственно различные виды обнаружителей. Поэтому возникает естественный вопрос о сравнительной оценке обнаружителей. Один из возможных методов оценки заключается в определении их относительной эффективности. Если для некоторого обнаружителя А при числе наблюдений п вероятность ошибки 1-го рода (вероятность ложного обнаружения) а, а вероятность ошибки 2-го рода (вероятность пропуска сигнала) р, то можно принять, что эффективность этого обнаружителя тем выше, чем меньше величина р при заданном значении а. В этом смысле известный критерий обнаружения Неймана - Пирсона является критерием наибольшей эффективности данного обнаружителя. Рассмотрим два обнаружителя А и Л*, для которых при равном числе выборок результатов наблюдений п=т вероятность ошибок 1-го и 2-го родов будут соответственно аир для первого обнаружителя и а* и р* - для второго. Здесь п - число выборок обнаружителя Л, т - число выборок для обнаружителя Л*. Пусть при равных значениях вероятности а=а* величина Р<Р*. Таким образом, при одинаковом объеме выборки и одном и том же заданном для обоих обнаружителей значении а обнаружитель Л обеспечивает меньшую по сравнению с Л* вероятность пропуска сигнала, т. е. большую эффективность. Можно принять, что по мере увеличения объема выборки вероятность ошибки р будет уменьшаться. Это позволяет за счет использования в менее эффективном обнаружителе А* большего числа выборок {т>п) при определенном значении т-п* получить ту же эффективность, что и для обнаружителя Л. Мера эффективности при сравнении алгоритмов обнаружения, а также обнаружителей, реализующих эти алгоритмы, определяется отношением числа выборок. Коэффициентом относительной эффективности каа* обнаружителя Л* по сравнению с обнаружителем Л называют отношение л к п*. Если, например, >«аа* = 0,5, то это означает, что для того чтобы обнаружитель Л* имел такую же эффективность, как обнаружитель Л, число подлежащих обработке выборок п* для А* должно быть в 2 раза больше, чем число выборок п для Л. Приведенное определение требует некоторых разъяснений. Коэффициент относительной эффективности паа*, вообще говоря, зависит от ряда величин. При заданных законах распределения помехи и сигнала Нал. =и(а, р, л, т), (5.11) где а -ошибка 1-го рода; р -ошибка 2-го рода. Согласно определению при т=п* коэффициент относительной эффективности Нал* =п/п*. (5,12) При малых значениях п нельзя подобрать такого целого числа л*, при котором эффективность обоих обнаружителей одинакова и для п* можно дать только приближенное значение, в то время как в реальных условиях работы можно использовать только целое число наблюдений. Кроме того, что особенно существенно, вычисление значения каа*, сложным образом зависящего от вероятностей аир, обычно встречает большие математические трудности. Как и во многих других задачах, вычисления значительно упрощаются для асимптотического случая, когда «--оо, для которого сравнительную оценку можно производить, пользуясь коэффициентом асимптотической относительной эффективности (АОЭ) едд. = lim (п/п*), (5.13) где п и п* - числа элементов наблюдения сравниваемых обнаружителей. Предполагается, что в (5.13) предел отношения существует и что при неограниченном возрастании объема выборки (п/«*) вероятность пропуска сигнала р стремится к некоторому постоянному значению р=Ро, а вероятность ложного обнаружения является постоянной величиной. 5.6. Использование коэффициента АОЭ при малых выборках Коэффициент АОЭ е для многих случаев может быть сравнительно легко вычислен. Однако так как этот коэффициент по определению непосредственно относится к очень большим выборкам, то возникает вопрос о том, в какой степени возможно его использовать для технических приложений, в которых объемы выборок всегда ограничены. Остановимся на этом более подробно, причем рассмотрим конкретный случай одностороннего алгоритма Вилкоксона. Для рассматриваемого случая можно показать (см. сноску на с. 81): когда выборки результатов наблюдения имеют нормальные распределения с известной дисперсией о, %=l2G[wx)dx¥v. (5.14) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
|