 |
 |
 |
 |
таточно для принятия гипотезы Яо или Яь Подобно тому как в тестах с фиксированным числом наблюдений порог обнаружения С (разбивающий множество значений статистики на две области) выбирается исходя из определенного критерия, в тестах последовательного типа пороги принятия решения А и В (разбивающие множество значений статистики на три области) устанавливаются также в соответствии с некоторым критерием качества. Пороги А и В в общем случае могут изменяться в процессе эксперимента, если критерий качества процедуры учитывает не только стоимость (потери) ошибочных решений, но и стоимость наблюдений.
В задаче обнаружения радиосигналов могут эффективно применяться тесты, использующие последовательный критерий отношения правдоподобия Вальда. В соответствии с этим критерием на каждом п-м шаге наблюдений вычисляется отношение правдоподобия (ОП) Л(Х„) для полученного в процессе эксперимента вектора наблюдений Х„= (xj, Х2,.. , x„)
Л(Х„)= ОпШ (gj)
где и(Х„Я1) и 1(Х„Яо) -условные функции правдоподобия вектора Х при справедливости гипотез Я1 и Яо соответственно. Статистика (9 1) сравнивается с двумя фиксированными порогами А и В. При ЛБ принимается гипотеза Яо, при АА - альтернатива Ни а при 5<Л<Л эксперимент продолжается. Среди всех критериев (в том числе и непоследовательных), обеспечивающих решение задачи различения двух статистических гипотез с вероятностями ошибок первого и второго рода, не превышающими заданных значений ai и pi==l-Du процедура последовательного анализа ОП с фиксированными порогами требует минимального ь среднем объема выборки. Здесь а и р - вероятность ложного принятия гипотез Яо и Я] соответственно, а D - вероятность правильного принятия Ни Таким образом, оптимальность правила Вальда понимается в смысле минимума среднего времени наблюдения, что соответствует минимуму средних затрат на эксперимент, в частности средних энергетических затрат.
Оптимальность правила доказана при условиях, что различаемые гипотезы Яо и Hi являются простыми, выборка независима и однородна, действительные распределения наблюдаемых величин при гипотезах точно совпадают с расчетными, а в момент принятия решения значение статистики строго совпадает со значением одного из порогов (отсутствует «перескок» статистики за порог).
Решающие пороги А я В, обеспечивающие заданные значения вероятностей ошибок ai и Рь находятся из соотношений
Л< В>--= , (9.2)
«1 «1 I-«1 1-«1
не зависящих от распределений отсчетов. Строгие равенства в (9.2) соответствуют случаю, когда распределения при гипотезах
мало отличаются друг от друга (мало «расстояние» между гипотезами- случай малого отношения сигнал-помеха). Это соответствует малому среднему приращению статистики Л за один шаг, и, следовательно, «перескоками» статистики за пороги можно пренебречь
На практике обычно используется логарифм ОП (ЛОП), который при независимых отсчетах представим через сумму
Я(Х„)=-1пЛ(Х„)= 2 1пШ= 2 (9.3)
Алгоритм принятия решения принимает вид
Яо Hi t t
1пВ;.(Х„)=г=1пЛ. (9.4)
В реальных задачах обнаружения радиосигнала могут иметь место отступления от условий, для которых доказана оптимальность правила. Так, гипотеза Но и альтернатива Я, могут быть сложными, выборка коррелирована и неоднородна и т д. Тем не менее применение в этих условиях последовательного критерия Вальда или его модификаций позволяет получить неоптимальные, но достаточно эффективные процедуры обнаружения [27].
В частности, при коррелированных (марковских) сигналах и коррелированных помехах последовательный критерий (9.4) является асимптотически оптимальным, т. е. при малЫх отношениях сигнал-помеха (что соответствует большему среднему числу наблюдений) он близок к оптимальному. В задачах обнаружения со сложными гипотезами возможно сведение сложных гипотез к простым путем усреднения функций правдоподобия по априорным распределениям мешающих параметров или по апостериорным распределениям, полученным в ходе эксперимента на основании оценок.
Требование однородности выборки, необходимое для окончания процедуры с вероятностью, равной единице, за конечное число шагов, можно заменить требованием отличия от нуля дисперсии статистики ОП, которое на практике всегда выполняется и для неоднородных выборок [27]. Значительная величина «перескока» статистики через решающие пороги (9 2) приводит к тому, что реализуемые вероятности ошибок оказываются меньше расчетных ai и Pi.
Показателями качества последовательного критерия Вальда являются оперативная характеристика L{d) и число наблюдений n{d), где d - фактическое «расстояние» между гипотезами, которое может отличаться от расчетного di Оперативная характеристика есть вероятность принятия гипотезы Яо при наличии сигнала. Соответственно 1-L{d)-вероятность принятия гипотезы Яь
В практических задачах обнаружения «расстояние» между гипотезами часто характеризуется параметром q - отношением сиг-
нал-помеха [см. (8.39) - (8.42)], а зависимость 1-L{q)=D{q) является характеристикой обнаружения. Очевидно, D{qi)=Di= = 1-Pi, где qi - расчетное отношение сигнал-помеха. Отклонение q от расчетного значения qi приводит и к изменению числа наблюдений, т. е. n=n(q).
Оперативная характеристика для близких гипотез (слабого сигнала) определяется соотношением
где h(q)-ненулевой корень трансцендентного уравнения
г JLiimL ""W(x\q)dxl. (9.6)
Из (9.5) следует
Математическое ожидание среднего числа шагов (средняя длительность процедуры для близких гипотез) определяется как
где математическое ожидание логарифма ОП
Mik) = l(q)== ]\ln]w(x\q)dx. (9.9)
W(x9o)
В частности, при q = qi ч q~qo = 0, что соответствует расчетным гипотезам Hi и Яо, из (9.8) имеем
M(„=,= lllA(iziM±i£Mi,
Выигрыш в среднем числе наблюдений правила Вальда по сравнению с эквивалентным по вероятностям ошибок критерием Неймана- Пирсона при равных вероятностях oi и pi составляет около двух раз. Выигрыш заметно увеличивается при различных значениях ai и рь Так, при обнаружении радиолокационного сигнала, когда ai<pi (ai~ 10-... IQ-, pi«0,l... 0,5), что приводит к резкой асимметрии решающих порогов In А и In В, выигрыш в среднем времени на принятие гипотезы Яо равен Ti = Inai/Inpi и составляет 5... 20 раз. Выигрыш в среднем времени принятия аль-
Вальд А. Последовательный анализ Пер. с англ/Под ред. Б. А Севастьянова.-М.: Физматгиз, I960. -328 с.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95