Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

или отрицательно. С ростом потери в Я увеличиваются (устойчивость ухудшается).

Таким образом, изменение распределения помехи в общем случае приводит либо к незначительному увеличению п последовательного РО, рассчитанного на рэлеевскую помеху, либо к его уменьшению, иногда значительному, при вероятности обнаружения, как правило, выше расчетной.

Иначе обстоит дело с изменением характеристик последовдтельного обнаружителя, работающего по ОП вектора наблюдений Л(хп) и рассчитанного на рэлеевскую помеху. В связи с тем, что для такого обнаружителя не обеспечивается условие а=const при изменении свойств помехи, его устойчивость характеризуется также и приращением а.

Результаты расчета и моделироваиия характеристик последовательного обнаружителя Л(хп) при помехе с распределением Вейбулла свидетельствуют, что разброс вероятностей D от расчетного значения намного выше, чем у РО. Кроме того, вероятность а существенно отличается от расчетного значения -на несколько порядков в зависимости от значения параметра распределения. Поскольку характеристики по а и £> обнаружителя, оптимального в рэлеевской помехе, при воздействии вейбулловской помехи оказываются неудовлетворительными, отклонение среднего числа испытаний Я уже несущественно.

Таким образом, изменение распределения помехи в общем случае приводит к незначительному отклонению характеристик качества РО от расчетных, в отличие от существенного изменения характеристик параметрического, оптимального прн рэлеевской помехе обнаружителя, т. е. РО оказывается более устойчивым, чем классический.

9.8. Задача адаптации последовательных обнаружителей. Свойство непараметричности адаптивных ранговых процедур

Правило различения гипотез, основанное на последовательном анализе ОП, как известно, является оптимальным для простых гипотезы и альтернативы. При сложных гипотезе и альтернативе, когда «расстояние» между ними неизвестно, последовательное правило перестает быть оптимальным. Вероятности ошибок при этом могут в значительной степени отличаться от расчетных значений, а среднее число испытаний - от минимально возможного, г. е. от оптимального. Для адаптации правила различения гипотез в общем случае необходимо находить функции распределения при гипотезах. Это требует, во-первых, достаточно большой длины обучающих последовательностей и, во-вторых, большого количества вычислений для определения соответствующих плотностей. Такие алгоритмы из-за своей сложности оказываются нереализуемыми.

В задачах с параметрической априорной неопределенностью, когда множество функций ОП

л(Х„е..е- ll2.Z

выборочного вектора наблюдений X„=(xi, ха, х„) считается из-



вестным, априорная неопределенность относится к векторам и; во мешающих параметров, зависящих от характеристик сигнала и помех.

Если известны априорные распределения векторов мешающих параметров, то операция перехода к простым гипотезам возможна исключением мешающих параметров путем усреднения ОП по априорным распределениям

Ц7(в,), .(i=0,l).

Возможно формирование апостериорных распределений вектора по обучающей выборке (с использованием априорного распределения И7(в)) и усреднение по ним. Если априорное распределение неизвестно, то можно задаться его видом, например принять его равномерным, и ОП вычислять приближенно, используя апостериорную оценку [41, 99]. По мере возрастания объема наблюдений апостериорное распределение перестает зависеть от априорного.

Для приближенного вычисления ОП можно вместо неизвестных ©1 и вг использовать их оценки максимального правдоподобия fli и во, найденные на тех же шагах наблюдений [41, 99], т.е.

Л (xje„ е„) жмним.

Качество приближения зависит от качества оценок.

Сложность адаптации и качество ее зависят от размерности векторов G, и во. В простейшем случае, когда неизвестным или изменяющимся является один сравнительно легко контролируемый параметр (например, дисперсия помехи), удается реализовать на практике достаточно эффективную адаптацию обнаружителя [27]. Задача существенно усложняется, когда неизвестно несколько параметров. При использовании непараметрических тестов, менее чувствительных к статистическим характеристикам входных данных, могут быть даны рекомендации по адаптивному вычислению даже в случае непараметрической неопределенности. Так, возможна однопараметрическая адаптация последовательного знакового теста при обнаружении положительного сигнала на фоне помехи с симметричной плотностью независимо от других характеристик помехи.

Свойства непараметричности и устойчивости ранговых процедур позволяет относительно просто реализовать их адаптацию при последовательном анализе даже в случае непараметрической неопределенности. Как указывалось, преобразование исходного выборочного пространства в ранговое за счет инвариантности распределения ранговой статистики соответствует переходу от сложной гипотезы к простей, т. е. последовательные РО обеспечивают постоянство вероятности а, но при сложной альтернативе не обес-232



печивают заданную вероятность Di и минимально возможное п. Иными словами, выражения для ОП

Л (г„в1. во) = "17 • • "

Л(к„1в„в„)= .Pjl. к„ = („Й2. -.п) (9.36)

зависят только от параметра альтернативного распределения Для подоптимальной процедуры (9.36) вектор оказывается одномерным, т. е. представляет собой один параметр Gi, характеризующий в ранговом пространстве «расстояние» между гипотезами. Таким образом, независимо от распределений при гипотезе и альтернативе задача адаптации обнаруживателя, основанного на (9.36), сводится к однопараметрической адаптации. Свойство устойчивости здесь используется косвенно, в том смысле, что именно это свойство позволяет обеспечить удовлетворительные характеристики обнаружения при различных распределениях входных данных. Устойчивость ранговых тестов позволяет также подобрать плотность в выборочном пространстве, аппроксимирующую достаточно широкий класс распределений, на основании которой и производится расчет ОП (9.35). При этом задача сводится к параметрической адаптации, т. е. определению числителя (9.35).

Эффективность адаптивного теста, естественно, зависит от точности оценки параметра адаптации. Адаптивные алгоритмы могут сходиться по вероятности к оптимальным (работающим в тех же условиях, но при полной априорной информации), когда размер обучающей выборки, используемый для оценки параметра адаптации, неограниченно возрастает. Такие адаптивные алгоритмы называются состоятельными. При конечном числе наблюдений оцен-

ка в отличается от точного значения параметра в и, следовательно, качество адаптивного алгоритма оказывается хуже соответствующего оптимального, что является платой за априорную неопределенность.

Покажем, что точность оценки параметра адаптации Bi не оказывает влияния на свойство непараметричности адаптивных последовательных РО (ЗО). Вычисляемое на основе оценки в, ОП

Л(г„ё,)= (9.37)

не совпадает с точным значением ОП, соответствующим действующим гипотезе Яо и альтернативе Яь Но его можно рассматривать как ОП, соответствующее той же гипотезе и некоторой другой альтернативе. Поэтому если справедлива гипотеза Яо и производится сравнение величины (9.37), которая является ОП для некоторой альтернативы, с вальдовскими порогами, установленными по заданным щ и Di, то реализуемая при этом вероятность ложного обнаружения а не зависит от свойств помехи. Не-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95