 |
 |
 |
 |
Для вероятности пропуска сигнала (вероятности ошибки 2-го рода) можно написать
Р=1- ]w,„{u)du. (5.3)
Вероятность правильного обнаружения (ВПО)
D = l-p= Ja;.„(«)d«. (5.4)
"s
В (5.3) и (5.4) Wsn (и) - плотность вероятности смеси сигнала и помехи.
б.З. Критерий Неймана-Пирсона
В задачах, относящихся к обнаружению сигнала в помехах, широко применяется критерий Неймана - Пирсона. При использовании этого критерия фиксируется на определенном уровне вероят-ность ложного обнаружения и выбирается такое правило решения, при котором вероятность пропуска сигнала имеет минимальную величину.
а = J Wn(u)duC == const, (5.5)
P = Pmin=niin
1 - \wn(ti)du
(5.6)
Для использования критерия Неймана - Пирсона должна быть задана вероятность ложных тревог а и известны плотности вероятности Wn{n) и Wsn{n), а следовательно, и соответствующие законы распределения. Обнаружители, удовлетворяющие критерию Неймана - Пирсона, могут рассматриваться как оптимальные, так как они обеспечивают получение наилучших вероятностных характеристик.
5.4. Алгоритмы обнаружения
При проверках статистических гипотез, в том числе относящихся к задачам обнаружения, приходится встречаться как с параметрическими, такие непараметрическими гипотезами. Различие между этими гипотезами определяется функциями распределения результатов наблюдения.
Гипотезы называют параметрическими, если они относятся только к конечному числу констант, определяющих распределение. Такие константы называют параметрами с тем, чтобы отличить их от соответствующих выборочных величин. Так, гауссовское (нормальное) распределение характеризуется двумя параметрами: ма-
тематическим ожиданием х=а и дисперсией о. Во всех случаях, когда функции распределения известны, приходится иметь дело с параметрическими гипотезами.
Гипотезы могут быть простыми и сложными. Если в задачах, относящихся к проверке статистических гипотез, число параметров, характеризующих распределение, равно I, а k из них имеют заданное значение, то гипотеза является простой, когда l=k, и сложной, когда k<l. Так, при гауссовском распределении, если оба параметра х-а и известны, то гипотеза простая. Для случаев, когда известен только один из этих параметров, гипотеза сложная.
Существует также класс статистических гипотез, отличных от параметрических. В качестве примера можно привести следующую гипотезу, требующую проверки: два неизвестных непрерывных распределения одинаковы. Гипотезы данного класса называют непараметрическими. Это гипотезы, которые не представляется возможным охарактеризовать конечным числом параметров.
Алгоритмы, которые используются для проверки соответствующего класса гипотез, также можно разделить на параметрические и непараметрические. Параметрические алгоритмы (см. гл. 6 и 7) основываются на предположении, что статистика результатов наблюдения имеет функции (распределения, принадлежащие какому-то определенному параметрическому семейству - гауссовскому„ рэлеевскому, показательному и т. п. Наиболее часто параметрические алгоритмы используются в предположении о гауссовском (нормальном) распределении.
Непараметрические алгоритмы используют для обнаружения сигналов не значения наблюдаемых величин, а ту или иную форму их упорядоченности. Если результаты наблюдения имеют чисто случайный характер, то это говорит об отсутствии сигналов на интервале наблюдения. Наличие сигналов проявляет себя в определенных закономерностях, относящихся к результатам наблюдения. Важнейшим свойством непараметрических алгоритмов является постоянство ложного обнаружения при произвольных законах распределения помехи. Использование непараметрических алгоритмов не требует знания функций распределения; другими словами, эти алгоритмы не зависят от функций распределения. В число непараметрических алгоритмов входят знаковые, ранговые и знако-во-ранговые и их различные разновидности. Непаметрические алгоритмы рассмотрены в гл. 8-10.
Знаковыми называют алгоритмы, использующие только знаки элементов выборки. Для стационарной помехи с симметричной относительно нуля функцией распределения число положительных и отрицательных знаков в выборке одинаково, независимо от вида помех. При наличии на фоне помех сигнала с положительным знаком вероятность появления в выборке элементов с положительными знаками больше вероятности появления элементов с отрицательными знаками, что может быть использовано для обнаружения сигнала. Согласно знаковому алгоритму альтернатива Hi о
наличии положительного сигнала признается верной, если для независимой выборки х= (xi, Х2,..., Хп):
2 sgnXiC. (5.7)
Здесь С - выбранный порог, определяемый заданным значением вероятности а, а знаковая функция
1, XiO
sgn Xi =
-1, л:г<0
(5.8)
При неравенстве, обратном (5.7), альтернатива Я; отвергается и принимается гипотеза Яо об отсутствии сигнала.
Знаковые алгоритмы могут быть односторонними и двусторонними. При одностороннем алгоритме правило выбора решения сводится к проверке превышения заданного порога С общим числом элементов выборки какой-то одной полярности. Рассмотренный выше алгоритм (5.7) является односторонним алгоритмом для положительного сигнала. Для двустороннего алгоритма учитываются оба знака, т. е. проверяется гипотеза, согласно которой общее число положительных элементов выборки или же общее число отрицательных элементов превосходит некоторый порог.
Ранговые алгоритмы учитывают наличие отклонения элементов наблюдаемой выборки от элементов случайной помеховой выборки. Рангом Ri элемента выборки Xi называют число элементов выборки п меньших или равных Хг (см. также гл. 8).
Пусть имеется выборка из десяти элементов следующего вида:
1 2 3 Х % е •7 Xs
4 3 13 8 5 18 9 6 11 15
Если элементы этой выборки расположить в порядке возрастания от меньшего к большему, то получим
3 "*1 5 6 8 9 11 13 15 18
*2 6 Xg X-J Хд Xg Xig Х
Тогда в соответствии с определением ранг Rg элемента лгэ в данной выборке равен 7. Соответственно ранг Rs элемента лгг равен 1, а ранг Re элемента Хв равен 10.
Если гипотеза Яо от отсутствии сигнала верна и наблюдаются только шумы, то при независимости и однородности выборки зна-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95