 |
 |
 |
 |
и контролируемые при оптимизации области параметров по-прежнему определяются (6.2) - (6.6), но с эрмитовой нормированной корреляционной матрицей А.
Обнаружение квазидетерминированного ВЧ сигнала с неизвестной интенсивностью и начальной фазой. Рассмотрим вначале случай минимаксного обнаружения при ограничении вероятности ложного обнаружения сверху. В этом случае условные плотности распределения вероятности имеют вид
Pi(xv, е, ф) = (яе)-"1А-ехр1-е-Мх-s)*A-(x-s)]= = (jt8)-"IA-iexp{-е-[х*А-х-2 /1х*А-1а1со5(ф-1-(р) +vp]},
(6.35)
Ро (х I е) = ( яе) IА1 ехр (-8-"х* А-х), (6.36)
где 5 = Argx*A-a, р=а*А-»а.
Пусть е, v, ф в (6.35) являются неизвестными мешающими параметрами, а fii и йо определяются (6.3) и (6.6). Тогда рассматриваемая задача является инвариантной относительно групп Gi и G2 изменений масштаба x-g-ix==px, р>0 и сдвигов начальной фазы входной выборки x->g-2X=xeJ*<P, -оо<:Аф<;оо, а также относительно прямого произведения этих групп G = GXG2. Следуя выкладкам, аналогичным приведенным в § 6.2, нетрудно найти, что единствепное минимаксное правило в данном случае совпадает с подобным минимаксным правилом и имеет вид
1х*А-а>С 1х*А-1х. (6.37)
В частности, максимальный инвариант * относительно G в пространстве достаточной статистики для параметров v, е и ф
ы=х*А-а, =х*А-х (6.38)
имеет вид
ip{u, t) = \u\/t= x*A-ia2/x*A-ix, (6.39)
что с учетом монотонности отношения правдоподобия для ilp{u, t) приводит к равномерно наиболее мощному инвариантному и, следовательно, к минимаксному решающему правилу (6.37). К этому правилу нетрудно прийти и методами отыскания подобных минимаксных решающих правил, рассмотренными в § 6.2.
Корадо В. А. Оптимальное обнаружение детерминированных сигналов со случайными параметрами на фоне помех с неизвестной интенсивностью при условии постоянства ложных тревог Радиотехника и электроника - 1968. - Т 13. -С. 1115-1118.
Минимаксное правило (6.37) при ограниченной вероятности ложного обнаружения может быть получено и с парой наименее благоприятных распределений с плотностями
WiiQ) = Wi{e, у, (р)=(2л)-8-б(у-То); 0(р<2я;
Wo{e)=kE-\ (6.40)
где 70 - произвольное фиксированное значение параметра у-vie, 6 - дельта-функция.
Правило (6.37) не является ни равномерно наиболее мощным подобным, ни равномерно наиболее мощным несмещенным, так как при любой фиксированной априори известной начальной фазе сигнала оно не сохраняет свойство минимаксной оптимальности. В соответствии с принятой в § 6.2 терминологией правило (6.37) можно рассматривать как равномерно наиболее мощное подобное (несмещенное) лищь относительно части неизвестных параметров задачи, а именно относительно параметров v и е.
До сих пор начальная фаза ф предполагалась детерминированной, но неизвестной априори наблюдателю. Вместе с тем из вида наименее благоприятного распределения ф (6.40) следует, что правило (6.37) является минимаксным при обоих видах ограничения на вероятность ложного обнаружения и в случае, когда ф является случайной, равномерно распределенной величиной. В этом случае в терминах средних по ф вероятностей правильного и ложного обнаружений полученное правило является равномерно наиболее мощным подобным. При любых фиксированных v и е оно является наиболее мощным подобным.
Кроме того, при обнаружении сигнала с равномерно распределенной начальной фазой и случайной, распределенной по любому закону амплитудой минимаксное правило (6.37) в силу его равномерной наибольшей мощности остается минимаксным и равномерно наиболее мощным при обоих видах ограничения на вероятность ложной тревоги и прежних йо и fii с заменой v на v. Здесь V - математическое ожидание случайной интенсивности сигнала V, которое может быть как известной, равной vo, так и неизвестной.
Структурные схемы оптимальных решающих правил. Решающее правило (6.37) может быть записано также в более удобном для реализации виде
x*A-a2Cix*A-»x. (6.41)
Структурные схемы правил (6.37) и (6.41) приведены на рис. 6.7 и 6.8.
Применением невырожденного линейного преобразования V = = Вх со свойствами, аналогичными рассмотренным в § 6.2,
ВАВ* = 1; В*В = А-; ау =Ва= К1Ге;
е=(1,0, ...ОУ; Sv=Bs=l/iveexp(/»;
ц=а*А-а. (6.42)
JC*A-x - уГ
Да Нет
Рис. 6.7. Структурная схема обнару- Рис. 6.8. Структурная схема обнаружителя квазидетерминированного сиг- жителя без извлечения квадратного нала корня
правило (6.37) приводится к следующему простому виду:
V,CKTVT (6.43)
а правило (6.41) к виду
\Vx\C{L\Vi\. (6.44)
В этом случае В и V - комплексные величины, в отличие от предыдущего случая. Заменяя преобразованный вектор е= (1, О,..., 0) на вектор е= (1,..., 1), нетрудно прийти также к правилам вида
(6.45)
\Yi\>C{L\Vi\\
(6.46)
Структурная схема правила (6.46) приведена на рис. 6.9. При av =е V=K«x и В = К"п правила (6.45) и (6.46), по существу, являются оптимальными для частного случая обнаружения немодулированного ВЧ сигнала с постоянной амплитудой и неизвестной начальной фазой на фоне стационарных некоррелированных гауссовских помех с неизвестной интенсивностью.
•Да Пет
Рис. 6.9. Структурная схема обнаружителя с предварительным линейным преобразованием
х*А-
х*А-х
- 1-Г
- ПС
.гДа Нет-
Рис. 6.10. Пример критической области РП обнаружения ВЧ сигнала с неизвест-юй начальной фазой
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95