Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

представляет собой сложную и весьма актуальную проблему. Известные формулы для вероятностных характеристик числа выбросов случайных процессов основаны на конечномерных совместных плотностях вероятности процессов и и\ производных. В общем случае как получение таких плотностей, так и их использование в известных формулах связано со значительными трудностями, тогда как для гауссовских процессов оба аспекта построения вероятностных хграктеристик выбросов изучены и доведены до удобной для инженерных расчетов формы. Поэтому здесь особенно удобны полигауссовские представления анализируемых процессов в дискретной или непрерывной форме. В частности, подставляя полигауссовские формы совместной плотности вероятности произвольно распределенного дифференцируемого в среднем квадратическом процессе i,{t) и его производной в известные [3] формулы для среднего числа Na{T) пересечений на интервале Т, получаем

Ла (Л = i g И Na{Т, т) dm или Na (Т) LqnNa(Лп-

(4.43)

Рели все компоненты анализируемого процесса стационарны, для среднего числа пересечений уровня о получаем

R" =

1 (a-mnY

о. Г

(4.44)

а средний квадрат числа пересечений

ЗЗп"

arctg

Main

(4.45)

где Мггп=Мхгп(х) - алгсбраическое дополнение элемента Ц ковариационной матрицы отсчетов {n(/i), п(<2), (i). Е(*2)} гауссовской компоненты исходного процесса с номером я; т:=/2-ti. Аналогично обобщаются формулы и для других вероятностных характеристик выбросов случайных процессов и полей.

Приведенные в § 4.5-4.8 соотношения позволяют определить плотность вероятности на выходе линейных и нелинейных элементов, если известны характеристики этих элементов и плотность вероятности входного случайного процесса, который в общем случае будет негауссовским. Более подробное рассмотрение вопроса о прохождении полигауссовских случайных процессов через элементы приемного тракта, а также через типовые звенья тракта, coc-j тоящие из комбинаций линейных и нелинейных элементов, приведено в [19, 28, 29, 30J.

Полигауссовские модели могут также быть использованы дл$ составления алгоритмов обнаружения сигналов при наличии нега уссовских помех [21, 28, 29].



Глава 5.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ

5.1. Предварительные замечания

Основным назначением радиоприемных систем является обнаружение и выделение сигналов, несущих информацию, из смеси сигналов с помехами. Как сигналы, так и помехи представляют собой случайные величины, поэтому теория обнаружения сигналов опирается на методы математической статистики. Обработка принимаемой информации заканчивается некоторым результатом, который можно назвать принятием решения. Правила, на основе которых принимают решения, называют решающими правилами.

Обычно решение задач можно найти различными путями. Выбрать решения следует таким образом, чтобы обеспечить условия оптимальности. Если в задачах, относящихся к статистическим величинам, принимаемое решение дает наиболее благоприятные в каком-то определенном смысле результаты, то его называют оптимальным статистическим решением.

5.2. Проверка статистических гипотез

При рассмотрении задач по обнаружению сигналов одним из наиболее удобных методов является метод проверки статистических гипотез. Рассмотрим эту задачу применительно к двум статистическим гипотезам. Предположим, что ведется наблюдение некоторого случайного события, которое может произойти вследствие одной из двух взаимоисключающих причин Ло и Ль Гипотезу о том, что событие обусловлено причиной Ло, обозначим через Яо, гипотезу об обусловленности события причиной Ai--через Hi. До проведения наблюдений требуется предложить решающие правила, по которым будет производиться выбор между гипотезами Яо и Я,.

Нужно располагать определенными сведениями о зависимости событий от вызывающих их причин для того, чтобы выработать решающие правила. В теории статистических решений эти сведения обычно задаются в форме функций распределения вероятностей. При этом предполагается, что для событий Ло известен вероятностный закон Ро, соответствующий плотности вероятности Wo, а для события А вероятностный закон Pi, соответствующий плотности ьу). Можно назвать гипотезу Яо нулевой гипотезой, а гипотезу Н\ - альтернативной гипотезой вследствие того, что Hi отрицает нулевую гипотезу Яо- В некоторых случаях для краткости Яо просто называют гипотезой, & Hi - альтернативой. Задача заключается в том, чтобы, сделать оценку результатов наблюдения и, пользуясь выработанными правилами проверки статистических гипотез, произвести выбор между Яо и Hi.



При принятии решения об этом выборе можно допустить два рода ошибок. Во-первых, возможны ошибки, состоящие в отклонении правильной нулевой гипотезы Но. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода. Во-вторых, можно признать правильной ложную нулевую гипотезу Яо. Это будет ошибка 2-го рода.

Перейдем теперь от этих общих понятий к обнаружителям радиосигналов. Здесь могут иметь место два основных случая при обнаружении сигнала в помехах: первый - нет сигнала; второй - есть сигнал. Примем, что первый случай соответствует нулевой гипотезе Яо, (Второй - альтернативной гипотезе Hi.

Рассмотрим, например, случай обнаружения детерминированного сигнала s{t) в аддитивном шуме, имеющем нормальное распределение. Здесь задача будет состоять в проверке гипотезы Яо о том, что наблюдаемая в некотором интервале - 7... 7 реализация x(t) принадлежит стационарному нормальному процессу с нулевым средним и корреляционной функцией В (т) против альтернативы Hi, согласно которой эта реализация принадлежит также нормальному случайному процессу с той же корреляционной функцией, но со средним значением, изменяющимся по известному зако-яу s(t).

Ошибка 1-го рода будет возникать в случае принятия решения о том, что есть сигнал при верной нулевой гипотезе Яо, предполагающей, что сигнала нет. Эту ошибку называют ложным обнаружением. Ошибке 2-го рода соответствует случай принятия решения об отсутствии сигнала, в то время как сигнал есть, но не обнаруживается в помехах. Эту ошибку называют пропуском сигнала. Здесь ошибка возникает вследствие того, что признается правильной ложная нулевая гипотеза Яо.

Ошибки при обнаружении сигнала представляют собой случайные события, которые можно характеризовать их вероятностью. Вероятность ошибки 1-го рода обозначают через а, а 2-го рода - через р. Вероятность пропуска сигнала р непосредственно связана с вероятностью правильного обнаружения D:

D=l-p. (5.1J

В радиотехнических системах для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала обычно применяется пороговое устройство с некоторым порогом Uc. Если напряжение и в приемном канале, подаваемое на пороговое устройство, превышает ыс, т. е. u>Ue, то принимается решение, то сигнал есть; если u<.Uc, то считают, что сигнала нет. Существует некоторая, отличная от нуля, вероятность того, что при отсутствии сигнала уровень порога будет превышен за счет шумов. Это соответствует вероятности ложного обнаружения (ВЛО) (вероятность ошибки 1-го рода)

а= f<(«)d«, (5.2)

«с

где Wn (н) - плотность вероятности напряжения шумов. 74



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95