Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [ 83 ] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

LC+1,JC+1

Если применяются сетки второго типа (разд. 3.3.3) и пятиточечная схема для лапласиана V в уравнении переноса вихря, то точка С, расположенная в вершине выпуклого угла, не

требует специального рассмотре-* • • • ния. Если же для VC берется

девятиточечная схема, то для определения на сетке второго типа могли бы использоваться способы, аналогичные способам 2, 3 и 4.

ОЛири и Мюллер [1969] также применили постановку разрывных значений вихря Хс в угловой точке, подобной точке С на рис. 3.22, а также в угловой точке, расположенной в вершине тупого угла в 135° на квадратной сетке, как показано на рис. 3.31, а. В последнем случае значение вихря в точке А

fea Д2

-i<--

Icjc

(3.499)

zzzzzzzz:zzz>7

можно брать для составления разности во внутренней точке (ic, /c-fl), а значение вихря в точке В

1ь =

(3.500)

Рис 3.31. Вихрь на выпуклом угле в 135° и на задней кромке плоской пластинки.

- для составления разности во внутренней точке (ic-f- 1, /с).

Такие постановки разрывных значений в угловой точке рекомендуются в задачах о течении около передней или задней кро-.мок бесконечно тонкой плоской пластинки; здесь, как показано на рис. 3.31,6, рассматриваются три значения вихря %а, Хь и Ха. (Если не предполагается симметрия течения, то, очевидно, на разных сторонах пластинки необходимо задавать различные значения .) В связи с этой задачей отметим, что Иосидзава [1970] (а также другие авторы; см. разд. 6.4) численно решал задачу о течении в окрестности передней кромки плоской рласуипы, используя уравнения Нявьр - Стокса в параболиче



ских координатах {1,г\), оптимальных для расчета быстрорастущего пограничного слоя. Далее он перещел к новой зависимой переменной 6 = -Sl + il) что устранило сингулярность па передней кромке.

Несмотря на то что сравнительное качество каждого из рассмотренных выше семи способов дискутабельно, очевидно, что подходы, основанные на определении t,c при помощи произвольной экстраполяции по значениям во внутренних точках, некорректны и могут привести к неустойчивости.

3.3,12. б. Сходимость и точность в вершине выпуклого угла

Специальные вопросы, связанные с численным решением уравнений эллиптического типа в окрестности выпуклого угла, обсуждали Вудс [1953], Вазов [1957[, Лаасонен [1958а, 19586] и другие авторы. Для того чтобы продемонстрировать сходимость решения разностного уравнения в случае конечного числа разрывов функции , Лаасонен [19586] рассматривал решение уравнения Пуассона, записанное в интегральной форме при помощи функции Грина (см. Вейнбергер [1965]). Доказанная им теорема требовала, чтобы решение дифференциального уравнения для Z было кусочно непрерывно и чтобы разрывы находились между узловыми точками сетки. Второе из этих условий не удовлетворяется в наших разрывных постановках для t,. Однако необходимость этого условия не была доказана.

Вазов [1957] применил методы асимптотических разложений для доказательства сходимости решения конечно-разностного уравнения в случае, когда граничные значения представляли собой кусочно аналитические функции, а граница-аналитическую кривую без угловых точек. Он также доказал существование (и дал форму) асимптотического разложения в случае угла, обр.азованного пересечением двух дуг аналитических кривых. Вудс [1953] предполагал различные формы особенностей для ojj на границе (включая случай, когда af конечна, но имеет бесконечные производные) и показал, как формально исключить особенности и решить получающиеся конечно-разностные уравнения методом Саусвелла. Он также ссылается на Саусвелла, когда говорит, что скорость сходимости итерационного процесса замедляется при скруглении угла.

В другой статье при изучении сходимости решения конечно-разностного уравнения в окрестности угловой точки Лаасонен [1958а] продемонстрировал как аналитические исследования, так и численный эксперимент. Эта статья имеет важное значение для задач вычислительной гидродинамики. Лаасонен показал вредное влияние на скорость сходимости как наличия угловой точки, так и разрыва функции. Если для прямолинейной границы с непрерывными значениями функции на границе



ошибка Е = 0{А), где А - размер шага сетки, то для прямолинейной границы с разрывными значениями функции на границе Е= 0(A); для прямого угла с непрерывными граничными значениями функции £ = 0(А); для прямого угла с разрывными граничными значениями функции Е = 0{А). Угловая точка С на рис. 3.22 как раз соответствует последнему случаю, поэтому в данном случае решение в окрестности угловой точки имеет менее чем первый порядок точности. Форсайт и Вазов [1960] предполагают, что наличие угловой точки может оказать не только локальное, но и глобальное влияние на точность, хотя численные эксперименты Чена [19706] в случае течения сжимаемой жидкости показывают, что ошибки, возникающие в угловых точках, быстро затухают. (См. также Мета и Лаван [1968]) для случая течения несжимаемой жидкости.)

Особенности тина вершин выпуклого угла рассматриваются также в работах других авторов. Уайтмен [1967] рассмотрел такую геометрическую особенность в случае уравнения Лапласа V\) = = О, используя метод конформного отображения, который, однако, не применим для уравнения Пуассона. Он утверждал, что даже при = О вблизи угловой точки девятиточечные схемы менее точны, чем пятиточечные. Уайтинг [1968] применил метод Мотца (см. также Вудс [1953]), в котором при релаксационном процессе лапласиан в узлах-вблизи угловой точки представляется не пяти- или девятиточечными разностными аналогами, а отрезками рядов по тригонометрическим функциям. Турайсами [1967] рассмотрел влияние особенностей в граничных условиях на скорость сходимости разностного решения уравнения Пуассона. Синнотт [1960] и Уигли [1969] также изучали влияние угловых точек на решение уравнения Пуассона, в то время как Жаме [1968] доказал теорему существования в случае особенности в величине t при решении уравнения переноса вихря, имеющего параболический тип. Хауэлл и Спонг [1969] обсуждали аналогичные вопросы в случае геометрической особенности на клине, находящемся в потенциальном потоке невязкой сжимаемой жидкости.

Представляется, что хорошая точность вблизи вершины выпуклого угла и достаточно полная ясность в вопросе об отрыве вблизи угловой точки могут быть достигнуты только путем локального решения в полярных координатах с центром в угловой точке.

3.1-. Критерии сходимости и нгч-льные условия

Термин «сходимость» употребляется в двух различных смыслах. Термин «итерационная сходимость» относится к окончательному выходу на решение конечно-разностного уравнения,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [ 83 ] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199