Запорожец Издания
Против потока обладает схемной искусственной диффузией (Нох и Проттер [1963]), или схемной искусственной вязкостью ). Интерпретация коэффициента а,, в случае многомерных и вязких течений не столь очевидна, как это могло бы показаться. Рассмотрим,-например, случай, когда достигается стационарное состояние. Тогда левая часть уравнения (3.176) обращается в нуль и можно уменьшать Д, не меняя при этом решения конечно-разностного уравнения. Уравнение же (3.179) показывает, что уменьшение kt приводит к увеличению ае (через С). Если понятие схемной вязкости ае имеет какой-либо смысл, то решение конечно-разностного уравнения, казалось бы, должно было зависеть от величины ае- Однако если вместо исследования нестационарного уравнения положить dt,/dt = 0 в уравнении (3.176) и воспользоваться разложением в ряды Тейлора, то получится а, = 72ыДд;. (3.180) При этом ас не является функцией от Д и стационарное решение не зависит от Д. Противоречие между выражениями (3.179) и (3.180) для ае можно объяснить, вспомнив, что для модельного уравнения, содержащего только конвективный член, единственным возможным стационарным решением при и = const является тривиальное решение ?+ = = const. В этом случае бХ/6х = dtjdx" = О, что допускает произвольный вид коэффициента ае. Рассмотрим теперь применение схемы с разностями против потока к уравнению плоского течения, учитывающему как конвекцию, так и (физическую) диффузию. При постоянных положительных «(-, Vi получаем 5-П + 1 п \ (3.181) причем условие устойчивости накладывает следующее ограничение на Д: Ду J (3.182) Разложения в ряды Тейлора дают дш ош + {, + ,) + + {а + аеу) ЧВП + ПВП, (3.183) ) Как мы увидим позже, представление коэффициента схемной вязкости «в для схемы с разностями против потока не единственно. где В случае исследования нестационарного уравнения а, = /2«А(1 ~С,), а,,= /2УАу(1 ~С,), (3.184) а в случае исследования стационарного уравнения 72« Ах, aey=l2V Ау. (3.185) Автор настоящей книги (см. приложение Б) показал, что результат (3.185) действительно соответствует стационарным решениям. Для нестационарных решений формулы (3.184) показывают, что влияние схемной вязкости будет минимальным, если Сх и Су по возможности близки к единице. Однако на практике невозможно добиться, чтобы эти две величины одновременно были близки к единице во всех частях области течения, поэтому схемная вязкость обязательно будет входить в расчеты. Заметим также, что коэффициенты схемной вязкости зависят от составляющих скорости и и v, которые рассматриваются относительно неподвижной эйлеровой системы координат. Это приводит к нарушению принципа инвариантности Галилея, т.е. преобразование, связанное с обращением скорости невозмущенного потока и допустимое для дифференциальных уравнений, неприменимо к этим конечно-разностным уравнениям, за исключением случая, когда АхО, Ау0. Термины «искусственная вязкость» и «схема первого порядка» часто используются как синонимы, но в действительности это не так. Например, можно просто добавить в схему второго порядка дополнительный член авхд%/дх с явной искусственной вязкостью авх Ах. Такая схе.ма с явной искусственной вязкостью имеет второй порядок; на ней, в частности, основывается метод фон Неймана - Рихтмайера для расчета ударных волн (см. разд. 5.4.1). Обсудим некоторые соображения относительно того, что точное решение невозможно до тех пор, пока не выполнено условие ае <С а. Из соотношений (3.185), полученных при исследовании стационарного уравнения, видно, что для выполнения этого условия должно быть ыАх/а <С 2 и vAy/a <С 2, т. е. сеточные числа Рейнольдса по различным направлениям должны быть много меньше 2. Эти условия являются требованием формальной точности, но на практике положение оказывается не столь уж плохим. Рассмотрим некоторую область, где применимо приближение пограничного слоя (см. Шлихтинг [1968]). Тогда производная д/дх будет мала и вклад члена с коэффициентом а.-{-(Хех в уравнение (3.183) будет мал. Кроме того, величина v также мала, поэтому аеу в (3.184) и (3.185) может быть меньше, чем а (см. задачу 3.9). Исследования Ранчела и Вольфштейна [1969] (см. также Вольфштейн [1969]) показывают, что для плоского течения ) Такой анализ искусственной вязкости применим также для первой CJjeMbi с разностями против потока, рассматриваемой в настоящем разделе. хе « УзиАх sin 29, где 9 - угол, который линия тока образует • осью абсцисс. Эти авторы использовали вторую схему с раз-юстями против потока), которая будет рассмотрена ниже, для )асчета течения внутри замкнутой прямоугольной области с )дной подвижной границей. При Re = 100 на неравномерной •етке 13X13 максимальное сеточное число Рейнольдса было жоло 20. Тем не менее полученные здесь результаты достаточно хорошо согласуются с решением этой задачи, полученным при помощи схемы второго порядка на сетке 51X51. Аналогично, результаты расчетов естественной конвекции, выполненных Торрансом [1968] также с использованием второй схемы с разностями против потока при большом числе Грасгофа (эквивалентном Re « 300), отличаются от решения, полученного при помощи схемы второго порядка, менее чем на 5%. Кемпбелл и Мюллер [1968], а также Мюллер и ОЛири [1970] установили хорошее согласование результатов расчетов с данными физических экспериментов для нескольких отрывных течений при больщих числах Рейнольдса. На примере расчета течения внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей Торранс с соавторами [1972] показали, что результаты, полученные при помощи второй схемы с разностями против потока для уравнений в консервативной форме, значительно точнее результатов, полученных при помощи схемы второго порядка для уравнений в неконсервативной форме. Следует также напомнить, что вязкость оказывает влияние на поле течения не только через диффузионный член в уравнении переноса вихря, но также и через условие прилипания на стенке. Последнее может привести к более существенным различиям между течениями вязкой и невязкой жидкостей. Так, Кенцер [1970а] установил, что решение даже при таком малом схемном (т. е. основанном на ае) числе Рейнольдса, как 300, может достаточно хорошо аппроксимировать решение при отсутствии вязкости (а = 0) с условием скольжения на стенке. При этом конкретная ограничительная величина такого схемного числа Re будет, конечно, зависеть от задачи. (Очевидно, что в задачах, не зависящих от Re, таких, как расчет течения Пуазейля или течения Куэтта, искусственная вязкость не оказывает никакого влияния.) Таким образом, оказывается, что полезные решения можно получать при помощи схем с разностями против потока, но при оценке точности результатов следует учитывать влияние схемной вязкости. Схемы с разностями против потока обладают 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|