 |
 |
 |
 |
Г= Г - I" А/ Г- + 1. (3.3066)
6х бл:
Первый шаг есть не что иное, как предиктор по схеме «чехарда», а второй - схема (3.285). Данная схема обладает некоторыми интересными характеристиками (см. задачу 3.16). Подобно схеме «чехарда», она имеет ошибку второго порядка £ = 0(Д/2, Дх2); исследование устойчивости методом фон Неймана показывает, что Я= 1 при 1, и схема имеет нулевую схемную вязкость как в нестационарном, так и в стационарном случаях. Она также обладает недостатками, присущими схеме «чехарда», т. е. требует дополнительных условий на выходной границе потока и дополнительных начальных условий и фурье-компонента с длиной волны Л = 2Ах стационарна. В отличие от схемы «чехарда» она обладает еще и тем недостатком, что не дает точного решения модельного уравнения при С= 1; однако значительным преимуществом рассматриваемой схемы является отсутствие неустойчивости, связанной с расчленением решения по временным шагам.
3.1.16. Неявные схемы метода чередующихся направлений
Неявные схемы метода чередующихся направлений (схемы ADI) были предложены в работах Писмена, Ракфорда [1955] и Дугласа [1955]. Называемая также схемой переменных направлений (Кускова [1968]), эта схема основана на расщеплении шага по времени с целью построения многомерной неявной схемы, в которой требуется обращение только трехдиагональной матрицы). Первые приложения этой схемы к задачам
) Н. Н. Яненко [1967] разработал метод дробных шагов, в котором многомерное уравнение расщепляется на последовательность одномерных уравнений; первые результаты он опубликовал в ДАН СССР, 1959, т. 125, № 6. Метод расщепления был также развит советскими математиками
Ни одна из этих схем не использовалась для решения уравнения переноса вихря, но Веронис [1968] применил схему (3.305) для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Он обнаружил, что при «оптимальном» выборе At для достижения сходимости достаточно взять = 3. (Однако устойчивость схемы существенно улучшается только при больших значениях k.)
Трехслойная двухшаговая схема, предложенная Курихарой [1965] (см. также Полджер [1971]), обладает некоторыми интересными свойствами. В случае уравнения для невязкой жидкости ее можно записать в следующем виде:
С+ = С~ -2uAt, (3.306а)
гидродинамики дали Уилкс и Черчилл [1966], Сэмюеле и Черчилл [1967], Пирсон) [1964, 1965а, 19656], Азиз и Хеллумс [1967]. В настоящее время неявные схемы чередующихся направлений-наиболее распространенные схемы для задач с учетом вязкости.
Для линеаризованной задачи неявную схему метода чередующихся направлений Писмена и Ракфорда можно представить в следующем виде. Обозначим через 6Q/6x и 6%/бх аппроксимации с центральными разностями для dt,/dx и д%/дх в точке i Интегрирование по времени на интервале М уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены,
dt. dt, dt, , д% . dt ,о Qn7
осуществляется за два следующих щага;
-Тт-----+ + (3-308а)
-TtI----x---V + -fc + -fe
(3.3086)
{x w у можно поменять ролями).
Преимущество этого подхода по сравнению с полностью неявными схемами заключается в том, что в рассматриваемой схеме каждое разностное уравнение, хотя и неявное, имеет только трехдиагональную матрицу. Уравнение (3 308а) содержит неявные неизвестные Уравнение (3.3086) содержит неявные неизвестные + S"V±i- двумерная схема абсолютно устойчива, как и полностью неявная схема (уравнения (3.258) или (3.263)). Но в данной схеме требуется решать только трехдиагональную систему (см. приложение А), которая для обычных неявных схем имеет место лишь в одномерном случае. (Другой недостаток неявных схем, связанный с бесконечной скоростью распространения возмущения для конвектив-
Е Г Дьяконовым, Г И Марчуком, А А Самарским, В К Саульевым Одно из первых применений метода расщепления к многомерной гидродинамике было дано К А Багриновским и С К Годуновым в статье, опубликованной в ДАН СССР, 1957, т 115, № 3 - Прим ред
) Пирсон [19641 показал, что конвективные члены не меняют безусловной устойчивости этой схемы, как и в случае полностью неявной схемы Однако Хаустон и де Бремекер [1974] утверждают, что собственные функции, использованные Пирсоном, правильны только тогда, когда конвективные члены малы, и поэтому его доказательству нехватает общности Легко убедиться в том, что требуемая здесь малость измеряется, как и можно было предполагать, условием для сеточного числа Рейнольдса Re 2
п + 1 1
Ьу бг/ .
62g" +
2"" L by + by .
(3.310)
которая также, очевидно, имеет порядок 0(А/2). Второй порядок точности, аппроксимация и сходимость данной схемы в применении к уравнению диффузии для прямоугольных и непрямоугольных областей были формально показаны Дугласом [1955, 1957].
Второй порядок точности схемы может быть нарушен нелинейными членами, которые соответственно должны вычисляться как «"+"2, V" в уравнении (3.308а) и как «"+2, v"+ в уравнении (3.3086). Поскольку и и и определяются через функцию тока ifi, которая в свою очередь Иаходится из эллиптического уравнения V2ifi = 5, в этом случае требуется совместно решать уравнения для 5 и для ifi на слоях « + /г и п+ 1, что совсем нереально. Если же в схеме всюду использовать старые значения н" и и", как в работе Сона и Ханратти [1969], то схема будет иметь формальную точность О (Д/, ДД Дг/2); если же поле скоростей меняется слабо, то в линеаризованной системе остается кое-что от второго порядка точности). Брили [1970] по вычисленным значениям «" и и" и по ранее вычисленным м"" и и"- линейной экстраполяцией определял «"+/2 и и"+/2. Такая схема устойчива и, как оказалось, имеет второй порядок точности. Однако она требует дополнительной памяти для хранения значений ifi"-.
Можно также проводить полную итерационную процедуру (Пирсон [1965], Азиз и Хеллумс [1967]): из уравнения (3.308)
) Это аналогично тому случаю, когда во второй схеме с разностями против потока, формально имеющей точность О (Ал:), остается кое-что от второго порядка точности при расчете конвективного поля, если t, слабо меняется в зависимости от пространственной переменной (см, разд. 3.1.11).
ного члена, сохраняется и в неявных схемах метода чередующихся направлений.)
Кроме того, рассматриваемая схема, примененная к линейному уравнению, имеет формальную ошибку порядка О Дл:, At/2). Для того чтобы убедиться в том, что схема действительно имеет второй порядок точности по времени (это на первый взгляд не очевидно), нужно выписать отдельно вклады от производных по переменным х и у. Пренебрегая зависимостью от у, уравнение (3.308) можно записать в форме
-Ч7-=-«%- + «-Ч- (3.309)
которая, очевидно, имеет порядок 0(А/2). Аналогично, пренебрегая в уравнении (3.308) зависимостью от х, получаем форму
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199