Запорожец Издания
3.1.19. Схемы четвертого порядка точности Робертса - Вейса и Кроули В следующих трех разделах мы обратимся к обсуждению таких явных схем, которые оказываются сложнее неявных. Сложность этих схем объясняется тем, что они строятся с целью уменьшения фазовой ошибки, рассмотренной в разд. 3.1.13 на примере схемы Лейта. Статья Робертса и Вейса [1966] появилась почти одновременно с работой Лейта [1965] Обе работы продемонстрировали важность фазовой ошибки. Роберте и Вейс разработали четыре различных вида явных схем и изучили другие схемы. Читателю, желающему подробно ознакомиться с фазовыми ошибками, кроме этой работы рекомендуются работы Фромма [1968] и Граммельтведта [1969]. и легко обобщается на случай трех пространственных переменных. Однако при расчетах уравнения переноса вихря эта схема, как и явные и неявные схемы метода чередующихся направлений, встречается с трудностью, связанной с неявностью граничных условий. Гурли [1970а, 19706J обнаружил тесную связь между схемой «классики», неявной схемой метода чередующихся направлений и схемой Дюфорта - Франкела. «Явность» уравнений (3.338) обусловлена тем фактом, что здесь в обычном пятиточечном аналоге оператора Лапласа используются значения только в точках (г,/), (г±1,/) и (t,/dzl). Гурли [1970а] называет такие конечно-разностные выражения -операторами. Форма с центральными разностями для конвективных членов также является £-опсратором, а разностные формы для членов со смешанными производными и девятиточечные разностные формулы для оператора Лапласа (см. разд. 3.2.10) таковым не являются и поэтому они требуют неявного разрешения уравнений, соответствующих уравнению (3.338). Гурли и Мак-Ки [1971] применили схему «классики» в случае смешанных производных, а Гурли и Моррис [1971] для гиперболических систем со скачками. В последней работе фактически рассматривалась одномерная ударная волна. Моррис [1971] применял эту схему для расчета уравнения теплопроводности (параболического типа) в трехмерном случае с граничными условиями смешанного типа (условия Роббина), которые возникают при использовании ньютоновских уравнений конвективной теплопередачи. Для расчета многомерных течений несжимаемой жидкости при некоторых граничных условиях градиентного типа данная схема пока не применялась, но можно предвидеть ее широкое применение в дальнейшем. В предыдущем разделе уже была рассмотрена схема с разностями по диагонали Робертса и Вейса, имеющая второй порядок точности. Здесь будут представлены наиболее интересные и наилучшие (с точки зрения уменьшения фазовой ошибки) схемы этих авторов, имеющие порядок точности О (А/, Ax"*). Эти схемы были построены при помощи интегрального метода (разд. 3.1.1 в), что обеспечивало их строгую консервативность. Следуя Робертсу и Вейсу [1966], определим две переплетенные л+5/2 л+3/2 л+1/2
Рис. 3.15. Сетка с расположением узлов в шахматном порядке для схемы Робертса и Вейса четвертого порядка в случае одной пространственной переменной. сетки с расположением узлов в шахматном порядке), как показано на рис. 3.15, где узлы одной сетки отмечены ромбиками, а другой - кружками. Взяв для аппроксимации пространственной производной в линеаризованном уравнении четыре значения с (л+ /2)-го слоя по времени, получим первую схему Робертса - Вейса четвертого порядка, имеющую следующий вид: (1 - ) (С-з" - С-Т + •iT.f - iT.n (3.341) Первый заключенный в скобки член в этом уравнении в точности соответствует схеме «чехарда», а второй представляет ) Эту схему можно также описать на одной двумерной сетке. Схема Робертса - Вейса с сеткой с расположением узлов в шахматном порядке фактически эквивалентна схеме «чехарда» (см. разд. 3.1.6). собой поправку более высокого порядка. Для этой схемы при С 2. (Заметим, что С = и ААх, где At = == - t". Но за один расчетный шаг известное в момент времени «+2 решение продвигается до момента времени "+ только на А 2. Поэтому эффективное число Куранта в действительности будет С = (и Atl2) jAx, причем для устойчивости требуется выполнение условия С 1.) Для сдвига фазы А9/2 за один шаг но времени Роберте и Вейс [1966] получили (в обозначениях, введенных в разд. 3.1.13) выражение ()кРУ = Т б + (1 - ) " б] • (3.342) Вторая схема четвертого порядка точности Робертса - Вейса строится как комбинация предложенных ими двух схем второго порядка точности: явной схемы метода чередующихся нанрав-лений с разностями но диагонали (уравнения (3.332) и (3.333) из разд. 3.1.17) и схемы «чехарда», занисанной на сетке с расположением узлов в шахматном порядке, и имеет следующий вид: -М{1%2-1"-1)\ "Ри 1\, (3.343а) = 6Т1ТШ)- (3.3436) Поскольку в правую часть уравнения (3.343а) входит значение ?"+,эта вторая схема является явной схемой метода чередующихся нанравлений, занисанной для обхода точек в нанрав-лении возрастающих значений if. Подобно другим явным схемам метода чередующихся нанравлений, рассмотренным в разд. 3.1.17, эта схема неявная но граничному условию, т. е. для того, чтобы начать расчет в нанравлений роста г, необходимо знать При С-*0 имеем М/е и мс/2 ~ 2- В этом случае уравнение (3.343а) можно неренисать в виде =- т [4 - TJ) - i - )] • (3.344) Сдвиг фазы определен в работе Робертса и Вейса [1966]. При С -> О фазовую ошибку можно найти из следующего соотношения: (е)кру С sin 6 (4-cos 6) - -, (3.345) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|