 |
 |
 |
 |
L Дл;2 Дл;
<2. (3.83)
Если член в квадратных скобках отрицателен, то это неравенство будет справедливо для всех \t > О, если же этот член положителен, то получаем
<даЬг7дГ- (3-84)
Поскольку знаменатель положителен, условие (3.84) менее ограничительно, чем (3.80), и поэтому перекрывается им.
Исследование левого неравенства (3.82) (динамическая устойчивость) дает
-2<Д/[2а/Дх2-«/Дх]. (3.85)
Если член в квадратных скобках положителен, то это неравенство выполняется для всех At > О, если же этот член отрицателен, то получаем
Д/<т-V?. (3.86)
где знаменатель положителен. Условие (3.86) также менее ограничительно, чем (3.80), и поэтому им перекрывается.
Таким образом, из анализа устойчивости уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены, при помощи метода дискретных возмущений следуют два необходимых условия- уравнения (3.73) и (3.80). Если распространить этот анализ на последующие слои по времени, то могут появиться другие более ограничительные условия, но метод анализа при этом становится очень неудобным. Заметим (и это будет показано ниже), что анализ устойчивости по фон Нейману дает другое условие (неравенство (3.112)).
Кроме того, если следовать работе Томана и Шевчика [1966] и дополнительно потребовать отсутствия в точке i - 1 осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, то должно быть
g?+i7e > О, (3.87)
И Требование устойчивости ?+j/e<l здесь дает
+ (3.82)
Рассматривая сначала правое неравенство (3.82) (статическая устойчивость), получаем
) Это ограничение на Rec ие следует путать с ограничением устойчивости в работе Тома и Апсльта [1961, с. 136]. В этом случае итерирование стационарных уравнений выполнялось без «нижней релаксации». Это аналогично интегрированию нестационарных уравнений с фиксированным Д (см. разд. 3.1.2), и ограничение на Rec у указанных авторов фактически соответствует ограничению, накладываемому на At.
а уравнение (3.81) даст
-C/2 + rf>0, (3.88)
г. е.
-uAtiAx + 2aAt/Ax>0, (3.89)
и Ах/а < 2. (3.90)
В уравнении переноса вихря а = 1/Re и член иАх/а. представляет собой сеточное число Рейнольдса Rec. Таким образом, Rec есть число Рейнольдса, полученное по локальной скорости и характерной длине, равной размеру шага пространственной сетки Ах. Для отсутствия осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, требуется, чтобы
Re, <2 (3.91)
независимо от Д/). Если требование отсутствия осцилляции (3.90) скомбинировать с условием (3.73), накладываемым диффузией, то в результате получаются следующие ограничения: число Куранта С = «Д Дх 1 и Д/ 2а/и. Как увидим в дальнейшем, эти ограничения являются правильными.
Упражнение. Используя метод дискретных воз:лущений, исследовать устойчивость схемы с разностями против потока (см. разд. 3.1.7-3.1.9)
соответствующей модельному уравнению течения невязкой жидкости. Показать, что условие устойчивости накладывает на число Куранта ограничение С = uAtlAx 1 и что оно включает критерий отсутствия осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени.
3,1.5. б. Анализ устойчивости по фон Нейману
Наиболее распространенный метод анализа устойчивости был предложен Дж. фон Нейманом в Лос-Аламосе в 1944 г. В то время с этим методом был частным образом ознакомлен сравнительно узкий круг заинтересованных в нем сотрудников (Эдди [1949]). Краткое описание метода впервые появилось в работе Кранка и Николсона [1947], а затем в работе Чарни, Фьёртофта и фон Неймана [1950]. Наиболее раннее полное обсуждение метода было дано в работе ОБрайена, Хаймена и
?Г + d[Zl, + - 2??), (3.93)
где d = aAt/Ax. Каждая фурье-компонента решения записывается в виде
= Гехр[%(/Ах)], (3.94)
где V - амплитуда отдельной компоненты с волновым числом kx (длина волны А=2л/кх) на п-м временном слое и /=д/-1. Пространственная область считается бесконечной).
) При таком подходе возникают некоторые вопросы, которые лучше игнорировать при первом чтении и которые выясняются после ознакомления с соответствующей литературой.
Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уравнения (3.93) при нулевых граничных условиях. Общее решение получается заменой в (3.94) V" на At,", где п интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разностной схемы (3.93) (см, Рихтмайер и Мортон [1967]), Хотя (3,94) не является решением уравнения с конвективным и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фон Нейману,
Для рассматриваемой здесь бесконечной пространственной области kx принимает все целые значения, kx = I, 2, ... . Если желательно исследовать влияние граничных условий, то максимальное kx должно быть конечным и должно зависеть от max i = /. Некоторая путаница может возникнуть из-за того, что в литературе используются две различные «нормирующие» системы для длин, В одной системе max kx - I - \ выбирается как п/Ах. При этом требуется, чтобы Х( = max л: сетки) было задано как X = п. Если фазовый угол определен как Q = kxAx и kxe[l,I-1], то это дает min 9 = Дл: = я/(/-1) и тах9= (/-1)Дл: = я, Во второй системе max л: сетки задается более естественной нормированной величиной X = 1, Тогда Дх = = !/(/-1) и фазовый угол определяется как 0 = яДх, Отсюда снова получается соответственно min 9 = яДх = я/(/- 1) и тах0 = я(/ - - \)Ах = я. Понятно?
Каплана [1950]. Как мы покажем ниже, в этом методе решение модельного уравнения представляется рядом Фурье с конечным числом членов и устойчивость (или неустойчивость) определяется тем, что каждое отдельное колебание затухает (или нарастает) .
Рассмотрим сначала линейное модельное уравнение с одним только диффузионным членом, снова используя схему (3.18) с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199