Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [ 122 ] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

фа, которая в этом случае эквивалентна схемам Лейта, Мак-Кормака и другим двухшаговым схемам.

При oTHOHieuHH давлений иа скачке порядка десяти схема Рихтмайера (5.79) дает толщину скачка около ЗАл и максимальный всплеск за скачком около 20%; модифицированная схема Мак-Кормака (5.90) дает толщину скачка около бАх при оире-делении ее по выходу на почти равномерный поток или около ЗАх при определении ее но положению фронта максимального всплеска; при этом максимальный всилеск составляет около 8%- В упомянутой выше статье можно найти и сравнения других схем, но самое важное в ней состоит в том, что Тайлер показал, каких замечательных результатов можно добиться добавлением в уравнения количества движения и энергии членов с явной искусственной вязкостью (объемной) типа фон Неймана- Рихтмайера по аналогии со схемой Лонгли (разд. 5.4.2). Тайлер добавляет член с искусственной вязкостью вида

q = -biAxp{\u\ + a)du/dx, (5.91а)

т. е. полагает

авЬАхр{\и\ + а). (5.916)

Члены с искусственной вязкостью представляются разностями вперед по времени. Из-за неявного сглаживания, присущего двухшаговым схемам, приемлемы малые значения bi. При этом толщина скачка при расчетах но двухшаговой схеме Рихтмайера составляет от 2Ах до ЗАх, а но модифицированной схеме Мак-Кормака- от ЗАх до 4:Ах; максимальный всилеск за скачком был лишь 0.18% для обеих схем при =0.15 и bi =0.325 соответственно (см. рис. 5.1). Тайлер и Эллис [1970] проверяли схемы также на расчете течений с волнами разрежения и скачками.

Ввиду успешности этих численных экспериментов и легкости обобщения на многомерные задачи искусственную вязкость Таилера (5.91) можно рекомендовать для класса двухшаговых схем Лакса - Вендроффа.

5.5.7. Схема Абарбанеля и Цваса

Абарбанель и Цвас [1969] исследовали класс схе.м, основанных иа многократном применении первоначальной схемы Лакса- Веидроффа (5.72) - (5.74). Обозначим схему Лакса - Вендроффа (5.72а) оператором L и запишем

и"+ = и" + ь{и"}. (5.92)

Абарбанель и Цвас предложили общую итерационную формулу и+"" = + Г . L {t/"+"} + (1 - Г). L {и"]. (5.93)



Максимальное значение k и коэффициент Г, выбор которого приводит к явной или неявной схеме, могут изменяться. При тахй->-сю и Г=1 схема превращается в пон-тью неявную схему Лакса - Вендроффа

= + L (5.94)

а при Г = 0 сводится к своей первоначальной явной форме (5.92). Наилучшие результаты были получены для простейшей формы схемы (5.93) при Г = 1 и одной итерации; в этом частном случае двухшаговая схема принимает вид

и" = и" + Ь{и"}, (5.95)

U"+ = U" + L{ir}. (5.96)

Абарбанель и Цвас применяли данную схему для расчета одномерного расиространения ударной волны в лагранжевых переменных. Они нашли, что проведение итераций более эффективно, чем введение явной искусственной вязкости, иредложен-ное Лаксом и Вендроффом [1960]. Наиболее суровыми условиями проверки схемы являются большие перепады давлений на скачках и малые значения показателя адиабаты у. Для отношения давлений на скачке, равного 4, и для у = \ .2 схема (5.95), (5.96) давала толщину скачка от 6Ал: до 8Ал: и, что важнее всего, отсутствие осцилляции давления (монотонные профили давления).

Эта схема еще не применялась в эйлеровых переменных, однако представляется, что здесь она была бы перспективной. Абарбанель и Гольдберг [1971] рассчитывали по ней распространение цилиндрической ударной волны. Как было указано выше (разд. 5.5.5), в многомерных задачах оператор Лакса - Вендроффа L существенно усложняется. Поэтому очевидным развитием схемы Абарбанеля и Цваса была бы замена оператора L в выражениях (5.95) и (5.96) одним из двухшаговых операторов, онисанных в предыдущем разделе. В случае двух измерений подобная четырехшаговая схема требовала бы только около четверти машинного времени, требуемого схемой (5.95), (5.96), и около половины машинного времени, требуемого первоначальной схемой Лакса - Вендроффа. Однако не было попыток осуществить такое очевидное развитие данной схемы.

Очевидно, что эта схема дает для стационарного решения ту же искусственную вязкость, что и схема Лакса - Вендроффа.

5.5.8. Другие схемы; алгоритм Бориса переноса с коррекцией потоков

Различные схемы для расчета скачков в лагранжевых иере-менных можно найти в книге Рихтмайера и Мортона [1967],



Схема Годунова [1959] (см. также Годунов с соавторами [1961]) является двухшаговой схемой первого порядка и дает размытые скачки. Как и в двухшаговой схеме Рихтмайера и других схемах, описанных в разд. 5.5.6, второй шаг в ней проводится по схеме «чехарда». Однако проведение иервого предварительного шага осуществляется очень интересно. В лагранжевых переменных необходимо вычисление предварительных значений н"+ и Р+ на (п 1)-м шаге по времени (рассчитывать Е ие обязательно). Эти предварительные значения определяются при помощи решения задачи Римана о распаде разрыва (см., например, Овчарек [1964]) на границе расчетной ячейки. Данная схема довольно сложна, однако любые разрывы в течении (включая и контактные разрывы) трактуются в ней более физично, чем в схемах с искусственной вязкостью. Двумерный вариант схемы применяли Годунов с соавторами [1961] и Мессой с соавторами [1969]. Мессон [1968] численно решал по этой схеме пространственные задачи по упрощенным уравнениям (в предположении малости поперечных потоков).

Макнамара [1966, 1967] применял модифицированный метод Годунова. Первый предварительный шаг осуществлялся здесь при помощи линеаризованного решения задачи о распаде разрыва (слабого) иа подвижной двумерной эйлеровой сетке, периодически подстраиваемой под перемещение контактного разрыва. Макнамара указывает, что неточность формы скачка, состоящая в появлении у него точки возврата вблизи проходящей через точку торможения линии тока, вызвана несогласованностью при расчете движения сетки.

Гурли и Моррис [1971] брали для расчета одномерных ударных воли схемы «классики» (см. разд. 3.1.18) иервого и второго порядков точности. Русанов [1970], а также Бёрстейн и Мирин [1970, 1971] рассматривали схемы третьего порядка для течений с ударными волнами. Лаке [1969] описал схему Глимма для решения уравнения Бюргерса, интересную с методической точки зрения.

Алгоритм переноса с коррекцией потоков (алгоритм FCT), первоначально разработанный Борисом [1971], был затем улучшен и обобщен (Бук, Борис и Хейн [1975]) и в результате превратился в мощный метод расчета скачков и других областей с большими градиентами. На первой его стадии используются различные схемы, например схема Лакса - Веидроффа, схема с донорными ячейками, схема «чехарда», в которые включена явная или неявная искусственная вязкость. На второй стадии, называемой антидиффузионным шагом, диффузионные ошибки частично уничтожаются (и почти полностью уничтожаются в областях вне скачка в улучшенном варианте алгоритма). Главной особенностью этого алгоритма является ограничение



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [ 122 ] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199