Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) В действительности для методов, подобных методу Ричардсона, потребность в величине объема памяти ЭВМ можно сократить за счет нехитрых программистских приемов и использования несколько больп1его числа операторов замещения.

сив для величины г]; в уравнении (3.377), предусмотрев в программе оператор замещения. Кроме того, Франкел [1950] показал, что для наиболее «стойких» компонент ошибки с большими и малыми волновыми числами в методах Либмана и Ричардсона имеет место соотношение

G (Либман) = [О (Ричардсон)]2. (3.378)

Асимптотически при достаточно большом числе итераций k итераций по методу Либмана эквивалентны 2k итерациям по методу Ричардсона; кроме того в методе Либмана требуется вдвое меньший объем машинной памяти ).

Более сложный вариант метода Либмана был предложен Шортли и Уэллером [1938].

3.2.3. Метод релаксации невязки Саусвелла

Метод релаксации невязки Саусвелла (Саусвелл [1946]) применялся в течение многих лет при расчетах вручную для получения численных решений важных технических и научных задач, включая одно из самых ранних решений задачи о течении при большом числе Рейнольдса (Аллен и Саусвелл [1955]). Первоначально он назывался просто «релаксационным методом», но здесь это название заменено на «метод релаксации невязки», чтобы было можно отличать его от метода Либмана и других итерационных методов, которые в настоящее время иногда называют релаксационными методами.

Простейшая форма метода релаксации невязки Саусвелла основана на том же уравнении (3.375), что и метод Ричардсона для вычисления новых значений ф?""/. Различие заключается в том, что уравнение (3.375) не используется во всех без исключения узловых точках сетки. Здесь невязка г,, / определяется из уравнения

(3.379)

Когда г,-,; = о, уравнение Пуассона (3.365) удовлетворяется, но только в точке (i,/). Таким образом, величина г,-,/ показывает, как на ошибку в точке (i,/) влияют все текущие прибли-



женные значения \)(,,-. Затем перебором находят ту узловую точку, где величина л,/I является наибольшей, полагают в этой точке Г;, / = О и при помощи уравнения (3.375) находят отсюда новое значение г];;,Это в свою очередь приводит к изменению невязок г во всех соседних точках, и процесс повторяется.

Метод Саусвелла не применяется на современных электронных вычислительных машинах, так как время, нужное для нахождения наибольшей величины , и для пересчета невязок г в соседних точках, не отличается существенно от времени, необходимого для непосредственного применения схемы (3.375). Таким образом, на современных ЭВМ целесообразнее по очереди устранять невязку в каждой точке, используя уже найденные новые значения, т. е. применять метод Либмана. Исторически метод Саусвелла интересен потому, что его усовершенствование привело к экстраполяционному методу Либмана, более известного под названием метода последовательной верхней релаксации.

3.2.4. Метод последовательной верхней релаксации

Практика применения (Фокс [1948]) метода Саусвелла показала, что для достижения наибольшей скорости сходимости нужно устранять не наибольшую невязку In,,], а ту невязку Г(,/, для ликвидации которой требуется наибольшее «смещение» I ijjY Ф? /1- Такой прием, очевидно, может быть применен только достаточно квалифицированным вычислителем, который может быстро приближенно вычислить максимальное смещение при визуальном переборе невязок. Затем был развит другой подход. Было обнаружено, что оптимальная скорость сходимости достигается не приравниванием невязок нулю, а использованием «верхней» или «нижней» релаксации в зависимости от того, какие знаки имеют невязки в соседних точках: одинаковые или противоположные (Фокс [1948]). (Общее понятие верхней релаксации было предложено Ричардсоном еще в 1910 г.) Такая идея с успехом была использована в методе Саусвелла, но теперь для реализации этого метода потребовался вычислитель, обладающий еще большими мастерством и интуицией. (Это требование фактически было даже выгодным (Фокс [1948]) при расчетах вручную, так как вычислитель, вероятно, менее утомлялся от однообразной работы!)

Франкел [1950] и независимо от него Янг [1954] разработали способ применения схемы верхней релаксации для метода Либмана, удобный для электронных вычислительных машин. Франкел назвал его «экстраполированным методом Либмана» (см. задачу 3.21), а Янг-«методом последовательной верхней релаксации».



3.2 4 Метод последовательной верхней релаксации 183

Сложив уравнение (3.377) и тождество О = г])* - г]; , а затем перегруппировав члены, получим

Г/ = ЧI + -2ТГТП-t+b /+/ + Р +

+ р2г)+Д, - Ах% 2 (1 + р2) fe J (3.380)

Теперь при приближении к решению 11)*+-> г];* для всех (t,/) член в квадратных скобках становится равным нулю в силу уравнения (3.365), а уравнение (3.380) переходит в отвечающее сходимости равенство == Если положить, что член в квадратных скобках равен нулю и что в точке (t,/) г1)*+. = г!?* , то получится метод Либмана. В методе последовательной верхней релаксации член в квадратных скобках в уравнении (3.380) умножается на релаксационный множитель (параметр релаксации) со, где со =71; таким образом, в общем случае невязка , Ф О, но г,,,-»-О при г)*+-> г];*. Метод последовательной верхней релаксации приводит к уравнениям

+ р2г1)+Д, - Ах%, - 2 (1 + р2) (3.381)

Для сходимости требуется, чтобы 1 со 2. Франкел и Янг определили «оптимальное» значение параметра соо, причем их критерий оптимальности основывался на асимптотическом уменьшении наиболее стойкой ошибки. Оптимальное значение соо зависит от сетки, конфигурации области и типа граничных условий. Используя подход Франкела [1950] для решения задачи Дирихле в прямоугольной области размером {1-\)АхХ Х(/-1)Ду с постоянными Ах и Ау, можно показать, что

соо = 2 (3.382а)

cos (я/(/- 1)) -f pcos (я/(7-

(3.3826)

При со = соо число итераций k, необходимое для уменьшения невязки до некоторого заданного уровня, прямо пропорционально полному числу итерируемых уравнений N = (I-2)Х Х(/ -2), тогда как для метода Либмана k N. Поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации соо (иногда называемый оптимальным методом верхней релаксации) лучше для больших задач.

Аналитическая оценка величины соо имеется только для довольно узкого класса задач (Янг [1954], Митчелл [1969], Уор-лик и Янг [1970]). Миякода [1962] показал, что если на всех



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199