 |
 |
 |
 |
Как было показано в разд. 3.3.12 для случая течения несжимаемой жидкости, можно добиться высокой точности расчета вблизи острого угла, введя локальную полярную систему координат с центром в угловой точке.
5.7.4. Линии симметрии
На линиях симметрии, таких, как граница В 1 на рис. 3.22, очевидно, необходимо ставить условия симметрии потока. Если ряд узловых точек / = s лежит иа линии симметрии, то способ отражения дает
«5 1 = -«5+ь Ws = 0, /s i = fs+i, где f = p, и, Es или Т.
(5.166)
Если ряд узлов сетки отстоит от линии симметрии j = s + /s на расстоянии Ау/2, то условия симметрии имеют вид
Vs= - Vs+u fs = fs+\, где f = p, и, Е, или Т. (5.167)
5.7.5. Входная граница
Входной границей является граница В 4 на рис. 3.22. Во всех опубликованных работах, посвященных расчету двумерных те чений, параметры потока на входной границе принимались рав ными их значениям либо в невозмущенном течении, либо в по граничном слое, причем последнее лучще соответствует зада че об обтекании обратного уступа, изображенного на рис. 3.22 Опыт расчетов показывает (Скоглунд с соавторами [1967 Аллен [1968], Аллен и Чен [1970], Роуч и Мюллер [1968 Скоглунд и Гей [1969]), что течение вниз по потоку может весьма существенно зависеть от условий на входе и от совмест ности входных значений параметров. В частности, составляю щая скорости v должна быть найдена из распределения состав ляющей и (хотя при очень больших числах Рейнольдса можно ограничиться условием и = 0); кроме того, должны быть сов местными энергетические интегралы в пограничном слое (см Шлихтинг [1968], Стюартсон [1964], Коэн и Решотко [1956] - в этих работах даны решения уравнении пограничного слоя в сжимаемой жидкости). Скоглунд п Гей [1969] дали способ определения совместных значений нарамегров на входе по экспериментально найденному распределению скорости на входе, а Аллеи [1968] указал такой способ при полиномиальном задании составляющей скорости и{у) иа входе.
Все эти методы основаны на автомодельных решениях с использованием либо интегрального соотношения Крокко, либо интегрального соотношения Буземана Во всех этих автомодель-
ных решениях принято условие Рг = 1, однако отклонение решений при отклонении числа Прандтля от единицы (для воздуха Рг « 0.74) часто считается незначительным.
Необычную постановку условий на входе применил Андерсон [1969], проводивший расчет по схеме типа Лакса - Вендроффа квазиодиомерных уравнений внутри сопла с учетом колебательной и химической неравновесности. Индекс i = 1 нри-писывали значениям параметров «в резервуаре» (см. любой курс газовой динамики), где площадь примерно в 10 раз больше площади горловины сопла. Тогда значения Т\ и pi принимались равными соответствующим значениям в резервуаре. Однако составляющая скорости Hi получалась из решения задачи линейной экстраполяцией против потока
Mj = 2m2 -«3- (5.168)
При этом решение определялось условием запирания потока в горловине и при приближении к стационарному состоянию величина Ul принимала значение, соответствующее расходу через горловину.
Заданные на входе условия могут оказаться принципиально несовместными с температурными условиями на стенке. Точным условием адиабатичности стенки является равенство дТ/дп = О, однако если в дискретных узловых точках рассмотреть точное решение уравнений пограничного слоя, то численное условие адиабатичности = T+i не получится. Конечно, это условие достигается в пределе Аг/-0, однако для практически применяемых конечных ячеек расхождение будет значительным. Поэтому существуют две возможности: либо положить температуру на стенке равной ее значению в точном решении уравнений пограничного слоя для адиабатической стенки, что приведет к невыполнению численного условия адиабатичности на стенке, либо использовать значение температуры на стенке, удовлетворяющее вычислительному условию адиабатичности, но при этом температура на стенке не будет равна температуре, полученной из точного решения уравнений пограничного слоя. Предпочтительной представляется вторая возможность (в основном из соображений консервативности).
5.7.6. Выходная граница
Для течений сжимаемой жидкости существует несколько приемлемых способов постановки граничных условий на выходной границе, скажем границе В 6 на рис. 3.22. Можно попытаться распространить на этот случай все способы постановки граничных условий для внхря в течениях несжимаемой жидкости,
изложенные в разд. 3.3.7. Они включают линейную экстраполяцию либо консервативных переменных
U, = 2U, ,-U, 2, гае U = p,pu,pv,{Es + P), (5.169)
либо неконсервативных неременных
f, = 2f,где f = p,u,v,T. (5.170)
Эти два способа не эквивалентны.
Опишем вкратце другие способы постановки граничных условий на выходе (здесь важно подчеркнуть, что к постановке граничных условий на выходе нельзя подходить легкомысленно). Как было установлено в разд. 3.3.9 по поводу парадокса на выходе для квазиодномерных уравнений, граничные условия на выходе играют большую роль в случае сверхзвукового течения на входе, чем в случае дозвукового течения на входе. Вычислительные эксперименты Крокко [1965], а также ироведен-ные автором расчеты двумерных задач показали, что именно граничные условия на выходе определяют положение скачка ).
Еше более важен следующий факт. Рассмотрим часто повторяемое утверждение: в случае сверхзвуковых скоростей на выходе граничные условия на выходе не существенны. Это утверждение неверно. Как мы видели в разд. 3.3.9, если бы не было влияния этой границы, то было бы невозможно «выключить» аэродинамическую трубу со сверхзвуковым течением на входе. Более того, это утверждение неверно даже в смысле малости ошибок. Аллен [1968] обнаружил, что при расчете течения вязкого газа около обратного уступа использование простого граничного условия на выходе
С = С -ь (5.171а)
или, что эквивалентно,
A = f/ p (5.1716)
приводит к монотонной расходимости решения даже при полностью сверхзвуковом потоке на выходе. Руо [1967], наоборот,
) Для задачи об обтекании обратного уступа приемлема линейная экстраполяция (5.170). Однако на очень грубой сетке в том случае, когда расстояние выходной границы от уступа было вчетверо больше его высоты, а за уступом продолжалась прямая стенка с условиями прилипания, решение «разваливалось». Хотя граница расчетной области находилась вне области вторичного сжатия потока, ошибка от граничного условия на выходе вызывала появление сильной ударной волны с осцилляциями, распространявшейся от выходной границы и разрушавшей замкнутую застойную область. Осцилляции ударной волны сохранялись, но в обшем она устанавливалась около угла уступа; при этом застойная область возвратного течения становилась открытой с и -< О везде до выходной границы. Такое поведение согласуется с экспериментально наблюдаемым явлением, называемым диффузорным срывом и возникаюшнм при повышении противодавления. Описанное выше явление дает еще один пример неед.ннственностн решения задач вычислительной газодинамики.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199