Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

[V4) + {Vv)\. (3.514)

Из уравнения неразрывности (3.509в) имеем

w(t + l)=l(°) = » <3-5>5)

кроме того,

( du , dv \ д ( du . dv \ „ /r,r.ir-\

( ди , ду \ д ( ди , ду \ г. /о т\

Наконец, получаем <3 /„> ч I д ,„г, , (5« . ди , дЧ I (30

ал: (Зг/ (Зл;= дхду бг/dx ду

= l(lr + lF) + (l7 + l7) = °- <-5«)

С учетом равенств (3.515) - (3.518) уравнение (3.514) принимает вид

Рассмотрим тождество

» = (w + lF/=(a+(f) + lrl~.

откуда

Продифференцируем уравнение (3.509а) по х:

dt \ дх ) + \ дх ) дх дх ду дх ду

= -4J + T(VM. (3.512)

Продифференцируем уравнение (3.5096) по у:

д <5о I / сУ I ду . ди ду . ду

Ж Kdi) + \ду)+дуду дх дхду ~

= - + T(V)- (3.513) Сложение уравнений (3.512) и (3.513) дает

dt \ dx ду ) \ dx ) \dy )

. dv ди ( ди dv \ . ( du . dv\



Подставляя этот результат в уравнение (3.519), получаем

2 дх ду дх ду 3.022)

(Из этого уравнения видно, что на стенке с условием прилипания = 0.)

Для того чтобы записать уравнение (3.522) через функцию тока ф, вспомним, что

и = дхр/ду, v = - dxp/dx; (3.523)

тогда или

Это уравнение Пуассона для давления. Обычные конечно-разностные формулы с центральными разностями по пространственным переменным (см. разд. 3.1.1) приводят к следующему выражению:

Ax Ay

-I-ТаГау-)] (3.526)

имеющему порядок точности О (Ах, Ay).

Уравнение (3.525) аналогично уравнению для функции тока = Х, причем источниковый член 5 аналогичен источнико-вому члену Х- Все методы рещения уравнения Пуассона, которые были рассмотрены в разд. 3.2, применимы и в данном случае, но как будет выяснено в следующем разделе, граничные условия в этих двух случаях различны.

3.5.3. Граничные условия второго рода для давления

При рещении уравнения Vij) = хотя бы некоторые граничные условия являются условиями первого рода, или граничными условиями Дирихле: г)}(х, г/) есть заданная функция вдоль границ. При решении уравнения Пуассона для давления ставятся условия второго рода (граничные условия Неймана), т. е. на границе задается дР{х,у)1дп, где л -нормаль к границе. Величина градиента давления находится из уравнения (3.509).

Упражнение. Записать конечно-разностное представление для составляющих градиента давления 6Р16х и бР/бу через функцию тока \).

Упражнение. Показать, что для стенки с условием прилипания (Пирсон [1965а])

- П 527



3.5.4. Итерационные методы решения

Граничные условия Неймана выдвигают два специальных требования при решении задачи. Первое требование заключается во введении градиентного условия в уравнения метода последовательной верхней релаксации. Очевидный способ решения здесь таков: вычисляются новые значения на {k-\-l)-u итерации во всех внутренних точках сетки, а затем по известной величине бР/бл и вновь вычисленным значениям в точках, смежных с границей, рассчитываются значения функции на этой границе. Для точки (г,/с) границы В 2 (рис. 3.22), используя в соответствии с формулой (3.380) метод последовательной верхней релаксации, получаем следующие уравнения:

) Это приближение известно из теории пограничного слоя (см., например, Шлихтинг [1968]). Фактически в рассматриваемом случае приближение будет более точным, поскольку постоянство Р предполагается не поперек всего пограничного слоя, а лишь в его части, ближайшей к стенке

где п п S - нормаль и касательная к стенке.

Производная по касательной к стенке 6/6s в уравнении (3.527) легко вычисляется с помощью центральных разностей. Заметим, что здесь при расчете можно брать любой метод, поскольку при решении уравнения Пуассона градиент не пересчи-тывается, а отсутствие обратной связи исключает возможность появления неустойчивости. Однако предпочтение отдается схемам с центральными разностями, согласующимися со вторым порядком точности О {к) метода в целом. Для нестационарных решений в уравнениях (3.509) часто пренебрегают членами dujdt и dvjdt и используют простейшее приближение дР/дп х

01).

Эти приближенные допущения не обязательны, и следует решать уравнения (3.509) точнее. Заметим, что наличие члена с коэффициентом 1/Re отнюдь не означает, что в течениях с большими Re этим членом можно пренебрегать. Для пограничного слоя, толщина которого б мала, известно, что дР/дп = = 0(6), но в более общем случае величина дР/дп может оказаться большой. (На линии симметрии, конечно, ставится условие бР/бп = 0.) В окрестности угловой точки С (рис. 3.22) постановка граничных условий Неймана может привести к двузначности давления в этой точке. Такую двузначность, как и двузначность функции %с в способе 1 (рис. 3.30), рекомендуется сохранить, хотя это не физично. Ошибка же в «однозначности» Ра - Рь может являться мерой ошибки аппроксимации вблизи угловой точки.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199