Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [ 137 ] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Глава 6

ДРУГИЕ РАСЧЕТНЫЕ СЕТКИ, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Выше мы познакомились с основными понятиями и методами вычислительной гидродинамики на примере простейших задач, используя некоторые формы уравнений Навье - Стокса в декартовых координатах и представляя их в виде уравнений в конечных разностях на равномерных расчетных сетках с постоянными Лх и Лг/. В настоящей главе мы очень кратко рассмотрим некоторые особенности других систем координат и расчетных сеток, а также уравнения движения жидкости, отличающиеся от уравнений Навье - Стокса. Мы не будем углубляться в изучение этих вопросов из-за недостатка места и времени (а иногда и из-за того, что они не слишком интересуют автора и он недостаточно в них компетентен). Единственная цель настоящей главы состоит в том, чтобы разъяснить некоторые понятия и указать дополнительную литературу по этим вопросам. При этом мы предполагаем, что читатель уже знаком с предметом изложения.

Основная идея настоящей главы, несомненно, заключается в том, что обсуждение систем координат, расчетных сеток и уравнений, описывающих течение жидкости, является очень важным. (Например, переход от декартовых координат к сферическим далеко не тривиален.) Как и при аналитическом решении задачи, разумный выбор системы координат и возможных упрощений уравнений часто предопределяет успех.

6.1. Специальные расчзтные сетки

Самое простое видоизменение прямоугольной расчетной сетки получается при изменении шага сетки в одном направлении в определенной узловой точке. Как правило, это делается для получения более высокой разрешающей способности сетки (и по возможности более точного решения) в той области, где градиенты параметров потока изменяются быстрее, например в пограничном слое.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим простейший способ перехода от шага Axi между узлами сетки к шагу Лхг в некотором узле i = т (рис. 6.1, а).



1-6-Д -*+*-Да;.,-MAXjMLxM*- Д Х£*\

Ах,-

2 2

-Дд;2-*<-Дя;2

*- Дж,

гДа;,-

Рдс. 6.1. Изменение шага сетки по пространству, а - однократное изменение расстояния между узлами сетки, б - однократное изменение размера ячейки.

Представим функцию f в окрестности точки / = т. рядами Тейлора:

(6.1)

1=- Ни-+т и L - i 5 L + ().

(6.2)

Выражение для д1/дх\т можно получить вычитанием равенства (6.2) из равенства (6 1):

/.+1 - f.-i = If L ( + 0 + Y L - " + (

(6.3)

где О [Ах] - наибольшая из величин О (АхТ) и О (Axf). Разрешив последнее уравнение относительно df/dx \щ, получим

Axi-i-Axi 2 дх

Это равенство показывает, что член

Ах2 - Ах, Ах2 + Д V

Ах2 + Ах,

+ О (Ах). (6.4)

(6.5а;

имеет второй порядок точности лишь в том случае, когда

С Ах1 - Ах\ \

(6.56)



Заметим, что если величина Дхг/Лл-! <С 1, то точности представления в точке т ухудшается до первого порядка малости относительно Aai (см., например, Блоттиер и Роуч [1971]).

Выражение для второй производной получается умножением равенства (6.2) на = (Аг/Ах и сложения полученного результата с равенством (6.1):

/.+.-(i + s)/,„ + sL ,=

Ах, (1 - S) +

Ах2 +

6 дх 6f

Axl (АХз - Ax,) + + О {Ax), (6.6)

1 -5

+ 0 [(Axs -

- Ax,), Ax2]. (6.7)

Для того чтобы последнее выражение имело первый порядок точности в точке i = т, должно выполняться равенство s = = 0(1 -Ах2).

Сальвадори и Барон [1961] провели через точки т, т + 1 и m-1 параболу и получили следующее выражение в конеч-йых разностях:

s{s+l)

(6.8)

Соответствующее выражение для первой производной дается формулой (6.5).

Причину более высокого порядка ошибки аппроксимации этих формул легко объяснить при помощи рассмотрения контрольного объема, как это требуется сделать в следующем упражнении.

Упражнение. Проведя границы ячеек между узловыми точками рис. 6.1, а, показать, что при s <С 1 точка т удалена от центра ячейки. При sО точка т приближается к правой границе ячейки

Можно несколько улучшить физическую интерпретацию, однократно меняя не шаг сетки Ах, а размер ячеек Ах, как показано на рис. 6.1,6. При этом нужны выражения для производных как в точке т, так и в точке {т + \)= п. Эти выражения аналогичны уже полученным.

Упражнение. Показать, что полученные выше формулы для 6 6.1С и 6fJ6x консервативны.

Из приведенных выше выражений следует, что при быстром изменении шага сетки формальный порядок ошибки аппрокси-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [ 137 ] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199