 |
 |
 |
 |
-ТТШШ- (3.173)
Теперь условие устойчивости для уравнения (3.172) имеет вид М /гАх/а; в то же время из равенства (3.173) при оо
следует, что Д/гДлг/а. Иначе говоря, схема (3.171) представляет собой всего лишь завуалированную простую схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной с ошибочно предполагаемой величиной шага по времени (ошибочно предполагаемой, так как пользователь думает, что результат, полученный после п шагов по времени, соответствует моменту времени пМ, в действительности же он соответствует времени пМ) ).
Полезно рассмотреть схему Дюфорта - Франкела в применении к стационарному течению. В этом случае
?? = ( + Г) (3-174)
и легко видеть, что схема Дюфорта - Франкела алгебраически эквивалентна схеме Ричардсона (схеме «чехарда» как для конвективных, так и для диффузионных членов). Однако анализ показывает, что схема Дюфорта - Франкела устойчива, в то время как схема Ричардсона безусловно неустойчива. Разрешение этого парадокса связано с идеей корректной постановки задачи или чувствительности решения к начальным данным. Поскольку некоторые специальные случаи несушественны для практических расчетов, мы не будем рассматривать устойчивость в этих случаях. Тогда, если
? = Т(Г + Г) + р (3-J75)
где е,- - произвольно малые, но не все тождественно равные нулю числа, то расчеты конечно-разностных уравнений по схеме Ричардсона расходятся, а по схеме Дюфорта - Франкела устойчивы. Заметим, что в любой реальной задаче гидродинамики е/ не равны тождественно нулю.
Заметим также, что при d = aAt/Ax = /2 схема Дюфорта- Франкела, примененная к уравнению диффузии без конвективного члена, алгебраически эквивалентна схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по про-
) Данная схема содержит ошибку аппроксимации, связанную с отбрасыванием членов. Строго говоря, эта схема может быть математически аппроксимирующей, если, например, устремить Да: и к нулю таким образом, чтобы отношение Д Да: было постоянным - это даст в пределе t~*-t.
fii+i fit
Дх Дх
при ы > о,
(3.176)
при ы < 0.
Данная схема часто применяется в литературе под различными названиями и с разными объяснениями. Метеорологам давно известно стабилизирующее влияние разностей против потока (Лилли [1965], Вазов и Форсайт [I960]) или «наветренных (Франкел [1956]) разностей ), и они используют их для решения задач о течении несжимаемой жидкости и о течении в приближении Буссинеска. Математики относят эту схему к разностным уравнениям «с положительными коэффициентами» (Вазов и Форсайт [1960], Моцкин и Вазов [1953 ); употребляется также термин «несимметричные разности» (Ломекс с соавторами [1970]).
Эту схему Рихтмайер [1957] сначала приписывал Лелевье, впервые применившему ее для исследования течения невязкой сжимаемой жидкости при условии симметрии слоя. Роберте и Вейс [1966], Курцрок [1966] и Крокко [1965], по-видимому следуя Рихтмайеру, тоже связывали ее с именем Лелевье. В более поздней работе того же Рихтмайера (Рихтмайер [1963]) эта схема была названа «схемой с разностями против потока»
) Термины «назад» или «вперед», очевидно, имеют смысл только по отношению к скорости.
) С учетом этого при переводе принято название «схема с разностями против потока». - Прим. ред.
) «Наветренным разностям» противоположны безусловно неустойчивые «подветренные разности» (Франкел [1956]).
странственной переменной. Но при d Ф /2 эти две схемы, полученные по ним результаты и свойства устойчивости оказываются различными.
3.1.8, Первая схема с разностями против потока. Ошибки, обусловленные схемной искусственной вязкостью
Одношаговая явная двухслойная по времени схема, обеспечивающая статическую устойчивость для конвективных членов, основана на использовании односторонних, а не центральных разностей по пространственным переменным. Когда скорости положительны, то используются разности назад, и наоборот). Таким образом, односторонняя разность всегда берется против потока, т. е. в направлении вверх по течению от точки, в которой вычисляется б/б/). Данная схема имеет ошибку аппроксимации Е = О (At, Ах) и записывается так:
) Схему с донорными ячейками Джентри, Мартина и Дали мы будем рассматривать ниже, называя ее второй схемой с разностями против потока (см. разд. 3.1.11).
и указано (в этом к Рихтмайеру присоединились Стоун и Брайен [1963]), что она восходит к статье Куранта, Изаксона и Риса [1952]. В этой статье была впервые продемонстрирована тесная связь данной схемы с теорией характеристик, а сама схема применена для плоских течений невязкой сжимаемой жидкости.
Схема «типа II» Лонгли [1960] и первая схема Филлера и Ладлоффа [1961] представляют собой применение обсуждаемой схемы для исследования одномерных течений сжимаемой жидкости с учетом вязкости. В методе FLIC (метод жидкости в ячейках) Джентри, Мартина и Дали [1966] данная схема называется «разностной схемой с донорными ячейками»). КурЦ-рок [1966] применил эту схему для исследования плоского течения вязкой сжимаемой жидкости и нашел критическое условие для величины шага по времени в этом случае. В литературе можно найти и много других приложений этой схемы.
Переписывая уравнения (3.176) и вводя число Куранта С = = uAt/Ax с положительной постоянной скоростью и, получаем
?«+ = ?«-С (3.177)
При С=1 эта схема дает С""*"= что соответствует точному решению (см. разд. 3.1.6). Условие С = 1 является также предельным условием устойчивости (см. предыдущее упражнение). При С < 1 схема вносит искусственное затухание; при этом исследование устойчивости по методу фон Неймана показывает, что матрица перехода имеет собственные значения Л < 1. Любая схема для уравнения с одним только конвективным членом в невязком случае при Л < 1 обладает таким схемным искусственным затуханием, а разложение в ряд Тейлора (так же, как и применение метода Хёрта исследования устойчивости) показывает, что уравнение (3.176) эквивалентно уравнению
4г = - + °< + П + ™, (3.178)
где ПВП - производные высшего порядка, а
а, = /2ыДх(1 - С). (3.179)
Поскольку здесь появляется нефизический коэффициент ае при производной д%/дх, это объясняет не только искусственное затухание, но, говоря конкретнее, и то, что схема с разностями
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199