Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [ 143 ] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Следует упомянуть некоторые другие виды преобразований. Аллен н Саусвелл [1955] рассчитывали обтекание цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью, вводя ортогональные координаты, образованные изолиниями потенциала скорости и функции тока потенциального (аналитического) решения. Том и Апельт [1961], а также Апельт [1969] применяли конформные отображения (или, как они и.х называли, симметроморфные фигуры) для отыскания системы криволинейных ортогональных координат при расчете обтеканий несл-симаемой жидкостью. Аналогичные приемы применяли Бреннен [1969], а также Ли и Фын [1970]. Фройдигер с соавторами [1967] пользовался конформными отображениями при расчете течений сжимаемой жидкости.

При введении преобразования Крокко для уравнений пограничного слоя (см. Шлихтинг [1968]) скорость становится независимой переменной. Креншоу [1966] рассчитывал течения со свободным сдвиговым слоем при помощи приближения пограничного слоя (пренебрегая диффузией в направлении потока); он использовал координату по нормали ие к линии тока, а к импульсной координате, т. е. рассматривал количество движения как независимую переменную. Поскольку количество движения является ограниченной функцией течения, конечно-разностная сетка выстраивается автоматически в процессе построения поля течения (см. также Креншоу и Хаббарт [1969]).

Ван де Вуреи и Дейкстра [1970] рассчитывали обтекание плоской пластины несжимаемой жидкостью по уравнениям Навье - Стокса, сначала записав уравнения для и гз в параболических координатах, а затем преобразовав их отображением на конечную прямоугольную область. При этом поперечная координата преобразовывалась при помощи" автомодельного решения уравнений пограничного слоя первого порядка (решение Блазиуса), а координата вдоль потока-при помощи логарифмического соотношения, что позволяло устранить особую точку на передней кромке.

Армитедж [1967] пытался рассчитать трансзвуковое вихревое течение в координатах, связанных со стенками сопла. Уоткинс [1970] в своем исследовании отражений от закрытого конца ударной трубы отображал область между скачком и стенкой при помощи линейного преобразования; при этом между скачком и стенкой было фиксированное число расчетных ячеек. Андерсон с соавтора.ми [1968] показал, как можно преобразовать уравнения для невязкой сжимаемой жидкости, чтобы они сохраняли консервативный (дивергентный) вид в любой криволинейной системе координат. Томпсон и др. разработали мощный метод численного построения систем криволинейных координат, связанных с поверхностью обтекаемого тела.



6.3. Другие ортогональные системы координат

в этом разделе содержатся сведения о нрименении ортогональных систем координат, отличающихся от декартовой системы. Для отдельных задач эти системы координат могут быть «естественными», например плоское обтекание тела параболической формы естественно рассчитывать в параболических координатах. В некоторых указанных приложениях применялись дальнейшие преобразования координат (скажем, экспоненциальное растяжение). Ниже выражение «(гз, )-подход» будет означать расчет течения несжимаемой жидкости при помощи уравнений для функции тока и вихря (см. гл. 2 и 3) или их модификаций.

Плоские задачи при помощи (i:, )-подхода рассчитывали в параболических координатах Ван де Вурен и Дейкстра [1970], а в эллиптических координатах - Бао и Догерти [1969] и Лил [1969]. (гз, )-подход в цилиндрических координатах реализовали Кавагути [1953], Томан и Шевчик [1966, 1969] и Ричарде [1970].

(ф, )-подход в сферических координатах осуществляли Йенсен [1959], Браун 1967], Римон и Чен [1969], а в цилиндрических координатах - Баракат и Кларк [1966], Майкл [1966], Торранс [1968], Шавит и Лаван [1971], Стробридж и Хуиер [1968], Фридман с соавторами [1968], Фридман [1970], Ли и Фын [1970]. В последних трех работах рассматривались стационарные уравнения.

В различных работах уравнения записывались в различных формах. Эти формы, конечно, эквивалентны в случае уравнений в частных производных, но не обязательно остаются эквивалентными при переходе к конечным разностям. Торранс [1968] ввел модифицированный вихрь 1= t,/r = V У(, V/r, и поэтому уравнения, записанные в цилиндрических координатах, не имели особой точки при г = 0. Заметим, что в осесимметричном случае (г = 0) = О, однако lir = 0) фО.

Гриффите с соавторами [1969] использовал цилиндрические координаты для исследования задач вязкоуиругости. Манкузо [1967] при помощи метода чередующихся направлений (см. разд. 3.3.6) численно решил уравнение Пуассона на сферической поверхности с граничными условиями типа Неймана. Эйзен [19676] изучил апироксимацнонную сходимость для сферически симметричного уравнения диффузии. Шульц [1964] рассматривал консервативный вид лагранжевых уравнений в цилиндрических координатах, причем искусственная вязкость имела тензорную форму. Фаччиоли и Анг [1968] разработали для сферически симметричного случая эйлерову схему, основанную на физических законах сохранения. Итон и Цумвальт [1967] в цилиндрп-



ческих координатах рассчитывали взаимодействие взрывных волн.

Римон [1968], а также Римон и Люгт [1969] осунгествили -подход в сплюснутых сфероидальных координатах, в которых поверхность тела совпадает с эллипсоидом вращения, а ортогональными к нему координатными линиями являются гиперболы. Маслях и Эпштейн [1970] применяли как сплюснутые, так и вытянутые сфероидальные координаты. Де Соза с соавторами [1971] для расчета невязкого сжимаемого обтекания воздухозаборника двигателя ввел тороидальные координаты. Существуют и другие экзотические системы координат, применяемые в газодннамических расчетах, и мы дадим соответствующие ссылки. В книге Щелкунова [1965] приведены выражения операторов градиента, дивергенции, лапласиана и вихря в следующих системах координат: декартовой, цилиндрической, сферической, эллиптнко-цилиидрической, вытянутой сфероидальной, сплюснутой сфероидальной, биполярной, тороидальной, биаксиальной, параболико-цплиндрнческой и параболоидальпой. Ларсен [1969] обсуждал возможности применения суперэллип-тнческой системы координат. Эта ортогональная система координат основана на кривых Ламе, определяемых уравнением

(тГ + (1)"-Ь №34)

При различных значениях параметров а, b \\ п эти кривые образуют прямоугольники, эллипсы, ромбы, звезды, квадраты, круги, а также промежуточные фигуры. Крайне сложной системой координат являются рассмотренные Копалом [1969] координаты Роша, при построении которых используются эквипотенциальные поверхностн вращающегося гравитационного диполя. Он предложил использовать эту систему координат при расчете газовых потоков в замкнутых бинарных системах (звездах).

Можно настойчиво рекомендовать учебник Берда с соавторами [1960], который содержит уравнения газодинамики с учетом вязкости, записанные в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат, а также много другой полезной информации по газодинамике и другим процессам переноса. Цянь Сюэ-сень [1958] приводит уравнения Навье -Стокса для течения сжимаемой вязкой жидкости в ортогональных криволинейных координатах. (Однако нн в книге Берда с соавторами, ни в работе Цяня не приводится коисервативиая форма уравнений.) В работе Богачевского с соавторами [1965] дана консервативная форма уравнений течения невязкой сжимаемой жидкости в цилиндрических и сферических координатах. (Напомним отмеченный в гл. 4 факт, что введение консервативных



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [ 143 ] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199