 |
 |
 |
 |
) Скала и Гордон [1967] представляли конвективные члены конечными разностями против потока, но в более сложном алгоритме, как в методе Шелдона для решения уравнения Пуассона (см. разд. 3.2.7).
В области торможения потока и в областях возвратных течений, т.е. там, где последнее ограничение является до-
минирующим (см. также разд. 5.5.3).
Модификации первой схемы с разностями против потока, необходимые для достижения строгой консервативности в областях изменения знака скорости, проводятся так, как описано в разд. 3.1.10. Более точная вторая схема с разностями против потока строится так, как описано в разд. 3.1.11.
В схемах с разностями против потока эффективная искусственная схемная вязкость вводится через ошибки аиироксима-ции односторонними конечными разностями. Такая схема добавляет в уравнения (4.63) члены с искусственной схемной диффузией для величии С/= (р, ри, ри, £«). Согласно рассуждениям, ироведенным в разд. 3.1.8, коэффициенты схемной диффузии в направлениях х я у в нестационарном случае имеют вид
= 72« Ах (1 - «А Лх), а,у = /а» А (1 - о А Аг/), (5.26а)
а в стационарном случае - вид
а.х = /2«Ах, а,у = 72оАг/. (5.266)
Заметим, что эти вязкостные эффекты не эквивалентны физической вязкости, так как коэффициенты схемной вязкости зависят от иаиравлення и от составляющих скорости.
Упражнение. Для течения, параллельного оси .v, при dUJdx = О и при произвольном распределении плотности в направлении у рассмотреть различия в поведении искусственной вязкости, вводимой в схеме Русанова, и искусственной вязкости, вводимой в схеме с разностями против потока.
Неявной схемной искусственной вязкости обычно недостаточно для того, чтобы стабилизировать решение при появлении в невязком течении сильных скачков (Рихтмайер [1957]), однако Курцрок и Мейтс [1966], Скала и Гордон [1967], Роуч и Мюллер [1970] успешно применяли подобные схемы для расчета течений с малыми (сеточными) числами Рейнольдса). Этот подход лежит также в основе метода частиц в ячейках и метода жидкости в ячейках, которые будут кратко описаны ниже.
Схемы с конечными разностями против потока обладают свойством трансиортивности (см. разд. 3.1.9, 3.1.10), которое существенно как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений. Имеющая при этом место утрата второго порядка точности аппроксимации по пространственным переменным играет значительно меньшую роль в сверхзвуковых течениях, чем в дозвуковых; мы сейчас переходим к обсуждению этого вопроса.
6.5.2. Область злияния и ошибки аппроксимации
В этом разделе мы сопоставим области влияния уравнений в частных производных н соответствуюших конечно-разностных уравнений. Нашей целью будет показать, как при помоши конечных разностей против потока удается сохранить некоторое подобие правильного поведения характеристик дифференциальных уравнений. Отметим также, что в этом случае ошибки анироксимации по иространственной неременной не столь сильно возрастают но сравнению со схемами с центральными разностями.
Рассмотрим сначала уравнения для несжимаемой жидкости:
V4 = S, (5.27)
f = -V.(VO + in. (5.28)
Уравнение переноса вихря (5.28) является параболическим, и для него ставится задача с начальными данными с ограниченной иространственной областью влияния в предельном случае течения невязкой жидкости 1/Re=О (если рассматривать это уравнение изолированно). Однако уравнение (5.27) является эллиптическим, и для него ставится краевая задача. Поэтому даже в случае 1/Re==0 возмущение £ в какой-либо точке ноля течения немедленно передается во все другие точки через нелинейный член, содержащий скорость V, зависящую от г[), а, следовательно, в силу уравнения (5.27) и от Это свойство наследуется и соответствующими конечно-разностными уравнениями. Можно сказать, что для системы (5.27) - (5.28) и соответствующей системы конечно-разностных уравнений скорость расиространения возмущений бесконечно велика.
Все уравнения течения сжимаемой невязкой жидкости являются уравнениями переноса типа уравнения (5.28), и поэтому для них ставится задача с начальными данными. Скорость распространения возмущения здесь конечна; малые линейные возмущения распространяются с изэнтронической скоростью звука а относительно газа и со скоростью V + а относительно неподвижной эйлеровой сетки. Следовательно, при V > а, т. е. при М> 1, возмущения не расиространяются вверх ио потоку. Эти свойства сразу приводят к широко известному понятию конуса Маха, т. е. к иринцину отсутствия влияния вверх но потоку.
Рассмотрим теперь распространение возмущений в случае конечно-разностного уравнения. При исиользовании центральных конечных разностей любое возмущение, имеющее место в узле (г, /) сетки в п-и момент времени, распространится в узлы (i±l, /±1) сетки в (п--1)-й момент времени неза-
) Курцрок [1966] опробовал разности против потока, разности по потоку и центральные разности для градиента давления. Этот эксперимент и соответствующий анализ устойчивости показали, что в случае расчета течения в пограничном слое центральные разности нредиочтительнее.
Отметим физический абсурд, который возник бы при анироксимации конечными разностями против потока градиента давления наряду со всеми конвективными величинами. В этом случае в задаче о квазиодиомерном течении в канале, описанной в разд. 3.3.9, любые возмущения в выходном {i = /) сечении потока никогда не будут ощущаться выще по течению и
висимо от величины ujaia Л/. Значит, расстояния, на которые распространяются возмущения, будут все время одни и те же, Лх и Лу; и, следовательно, скорости расиространения возмущений будут Лх/А/ и Ay/At. Необходимое условие устойчивости Куранта - Фридрихса - Левн [1928] требует, чтобы область влияния конечно-разностных уравнений но меньшей мере включала б себя область влияния исходных уравнений в частных производных, т .е. чтобы выполнялось неравенство Ах/At V + с, или неравенство
C = il4<l, (5.29)
где С - число Куранта. В задачах с сильными ударными волнами, где предположение о малости возмущений неверно, замена скорости звука а нелинейной скоростью расиространения скачка а, > а приводит к условию фон Неймана - Рихтмайера [1950].
Курант с соавторами [1928] не требовали ничего другого от конечно-разностных уравнений, так как их иелью было только доказательство существования решения. Однако очевидно, что было бы желательно сохранить в системе конечно-разностных уравнений некоторое подобие ограничения области влияния вверх по потоку, которым обладает исходная система уравнений в частных производных. Самое большее, что можно сделать, работая на прямоугольной сетке, это ограничить расиространение возмущений б положительном или отрицательном наиравлении в соответствии с и и и. Данные соображения побудили Куранта, Изаксона и Риса [1952] составлять на прямоугольной сетке конечные разности против потока.
Эти соображения снова приводят к понятию трансиортивных конечных разностей для конвективных членов, обсуждавшемуся б разд. 3.1.8-3.1.10. Однако здесь необходимо разрешить возможность нелинейного расиространения возмущений вверх но потоку в случае as > V. Поэтому в уравнениях количества движения приходится применять центральные по пространственным иеременным разности для члена с градиентом давления, поскольку влияние градиента давления передается вверх по потоку ).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199