Запорожец Издания
искусственной вязкостью. Аналогично, для схемы Рихтмайера (т.е. для двухшаговой схемы Лакса - Вендроффа, см. разд. 5 5.6), в которой первый шаг делается по схеме Лакса, а вто-t тй - по схеме «чехарда», первые несколько сот шагов можно реализовать только но схеме Лакса и лишь затем пользоваться 1ПЛН0Й двухшаговой схемой (Лапидус [1967]). При С-С 1 схе-.via Лакса обладает большой диффузией и поэтому даст сглаженное решение. Поскольку при проведении отладочных расчетов нелинейные неустойчивости могут разрушить решение, на ранних стадиях следует вести решение короткими этапами, попеременно записывая результаты чередующихся этапов на две магнитные ленты. При возникновении неустойчивости можно вернуться к результатам расчета на предыдущем этане с меньшей величиной At, с большим демпфированием и т. д. Тайлер и Цумвальт [1965], а также Тайлер и Эллис [1970] показали, что в задаче об одномерном распространении скачка можно получить более плавные профили скачков, распространяя начальный разрыв на две расчетные ячейки. Вместо скачка величин от значе1шй перед ударной волной (а) до значений за ударной волной [Ь) в пределах одной расчетной ячейки Р/ = Ра, Р/ + 1=Р* (5.181) они определяли в промежуточной узловой точке среднее значение Pi = Pa, Pi + i = iPa + Pb)/2, Pi+2 = Pb (5.182) (подробности см. в указанных выше работах). Уоткинс [1970] обнаружил особую важность совместности начальных условий в связи с использованным им преобразованием координат. По опыту автора, а также Л. Д. Тайлера (частное сообщение) обычные двухшаговые методы дают незатухающие колебания примерно в трех узловых точках около начального положения скачка. До настоящего времени ие найдено удовлетворительного объяснения этого явления и способов его устранения. Гурли и Моррис [1968в], Вернер [1968], а также Смит и Мак-Колл [1970] для улучшения аппроксимационной сходимости гиперболических систем применяли методы экстраполяции. 5.9. Замечания о расчете дозвуковых и сверхзвуковых течений Часто возникает мысль о том, что не стоит пользоваться уравнениями течения несжимаемой жидкости, а достаточно разработать лишь программу для расчета течений сжимаемой жидкости, и тогда соответствующее течение несжимаемой жидкости Срв= , > (5.185) что после дифференцирования дает d (Р,) yMi (5.186) ) Заметим, что при МО уравнение энергии отделяется от уравнений неразрывности и количества движения можно рассчитать по этой программе, считая число Мо малым, скажем положив Мо = 0.1. Поэтому, казалось бы, программа расчета течений сжимаемой жидкости обладает большей гибкостью. В общем случае, однако, подобный метод будет и весьма неэффективным, и весьма неточным. Уменьшение эффективности обусловлено очевидным усложнением вида вязких членов (см. гл. 4) и усилением условия на размер шага по времени Лг". Значение Лг" при расчете течения сжимаемого газа ограничено условием по числу Куранта (» + а)Д <1. (5.183) При Мо « 0.1 мы имеем а « 10ы, и по условию (5.183) ограничено в основном скоростью звука, что уменьшает максимально допустимые значения Л;" в десять раз по сравнению со случаем применения уравнений для несжимаемой жидкости. Более того, паразитные звуковые волны на сетке приведут к возрастанию ошибки, связанной с неразличимостью, и (что, быть может, наиболее важно) ухудшат итерационную сходимость. Черни с соавторами [1950] указал на желательность эффективного отфильтровывания этих паразитных волн и применения поэтому уравнений течения несжимаемой жидкости. Ухудшение точности проистекает из неопределенности при М-0. Даже при поверхностном знакомстве с газовой динамикой ясно, что для сверхзвуковых течений используются отношения давле ний, например отношение давлений в донной области = Рв/Роо, в то время как для течений несжимаемой жидкости используются разности давлений ), на пример коэффициент давления в данной области Срв - (Рв - Р<х.)/<х., где <х. - скоростной напор в невозмущенном потоке, т. е. » = TP=o- = T-M-• (5.184) Выражая при помощи этого равенства коэффициент давления через отношение давлений, получаем Рг - 1 (Y/2) M При 7 = 1.4 и Моо = 0.1 получаем отношение относительных ошибок г = 0.007. Это означает, что при вычислении Рг по уравнениям течения сжимаемой жидкости с погрешностью менее 1 % получаем значение Срв с погрешностью 100%. Для смешанных течений, т. е. для сверхзвуковых течений с областями дозвукового течения, отношения давлений еще имеют смысл и можно пользоваться уравнениями сжимаемой жидкости. Однако задачи с большим интервалом изменения числа Маха по времени очень трудны для расчета. Примерами таких задач являются разгон тела из состояния покоя до сверхзвуковой скорости и расчет взрыва от его начала до поздних стадий. Харлоу и Амсден [1968] разработали неявный эйлеров метод расчета движений сплошной среды (метод ICE), дающий хорошие результаты от М = О до М 1 1. Метод ICE основан на расчете уравнения неразрывности по неявной схеме, что придает системе уравнений эллиптический характер (см. Фромм [1963] и Руо [1967]). В нем нет ограничения на размер шага по времени, связанного со скоростью звука. Дальнейшие усовершенствования метода ICE и его приложения указаны в работах Харлоу и Амсдена [1970], а также Харлоу с соавторами [1971]. 5.10. Схемы высокого порядна аппроксимации Замечания разд. 3.1.10 по поводу ограничений на схемы высокого порядка аппроксимации еще в большей мере относятся к течениям сжимаемой жидкости. Как уже было указано в разд. 5.5.2, в сверхзвуковых течениях при больших числах Рейнольдса искомые функции не обязательно непрерывны по про-странствеиным переменным и в этих случаях ряды Тейлора, применяемые для оценки ошибок аппроксимации, непригодны. Бёрстейн и Мирин [1970, 1971] разработали схему расщепления для уравнений течения невязкого газа третьего порядка точности по пространственным переменным и времени. Схема третьего порядка точности в приложении к задаче о расчете обтекания затупленного тела с отошедшей ударной волной дала более точные значения давления, но менее точные значения плотности в точке торможения и потребовала втрое больше машинного времени, чем схема второго порядка точности. Другая схема третьего порядка точности приводится в работе Русанова [1970]. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|