Запорожец Издания
Чена - Аллена предпочтительнее схем типа Лакса - Вендроффа. Схема Крокко [1965] для аппроксимации конвективных членов уже была изложена в разд. 3.1.12. Для полного модельного уравнения (5.1) эту трехслойную схему можно записать в виде S?+ = S? + A/ (5.109) При помощи своей схемы Крокко рассчитывал течение сжимаемого газа с ударными волнами по квазиодномерным уравнениям с постоянными коэффициентами переноса. Градиент давления аппроксимировался так же, как конвективные члены в схеме (5.109). Условия устойчивости были представлены в графическом виде (Крокко [1965]). Викториа и Стейгер [1970] рассчитали по этой схеме двумерные плоские и осесимметрич-ные течения со слабыми ударными волнами, а также учли эффекты осесимметричности при исследовании устойчивости. Как и в схеме Чена - Аллена, переменные коэффициенты переноса в (5.107) приводят к неявности рассмотренной схемы. Брили и Макдональд [1975], а также Баум и Ндефо [1973] с успехом применяли неявную схему метода чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16) для расчета сверхзвуковых течений вязкого газа. Их схемы различались способами линеаризации, при неудачном проведении которой можно сильно испортить устойчивость, достигнутую за счет неявности. Малоизвестная схема расчета полной системы уравнений течения сжимаемой жидкости была разработана Нагелем [1967]. (Поскольку эта схема не применялась для расчета течений невязкого газа, она обсуждается лищь в настоящем разделе.) Нагель строил эту схему только для уравнений, описывающих возмущения (см. разд. 6.4) неконсервативных переменных р, и, v и Н, где Н - полная энтальпия. Представляется, что эта схема пригодна и в случае консервативных переменных, и мы будем ее описывать именно так. Запишем в виде Мр б(р„+, (р„)+\ (р„)+, (5.110) разностный аналог члена d{pu)ldt, полученный из уравнения (4.63) при помощи центральных разностей но пространственным неременным для всех производных и по значениям в момент времени, соответствующий индексу п -f 1 в этом выражении. Аналогичные выражения имеют место и для других неременных Тогда схема Нагеля представляет собой последо- 3. =l[(p"r(p"rn bt bt • P =P + А/-57 6. е1+ = еЧ + ы 5£П + 1/2 (5.111) 7. (pы)+ = (pы)"+/Чf 8. (p.)+ = (p.)+ + 4-, •0- =[p+. ЕГ, {9ur\ {pvrl 11. (риГ = (риГ + ы., 12. (р„)+3/2 р).+./2д б(01. Аналогичная схема была рассмотрена Рождественским и Яненко [1968]. Нагель пользовался следующими условиями устойчивости: А/<1.5Ал;/а, (5.112а) М<Ах/л/2Гй\, (5.1126) А/<Ал;2Ре/2, (5.112в) А<уАл;/[(у-1)ы]. (5.112г) Хотя Нагель проверял эти условия в экспериментальных расчетах течения в пограничном слое, было бы разумно заменить вательность 12 этапов, каждый из которых выполняется во всех узлах сетки {i, j). В результате предыдущего двенадцатиэтапного расчетного цикла известны величины Р , t.s, , , (ры) , (pV) , -gj-. Отдельные этапы расчетного цикла проводятся в следующем порядке: 1. р =р + - -57-; ) Условия скольжения соответствуют отсутствию вязких членов в дифференциальных уравнениях, описывающих течения сплошнон среды. Этот же термин употребляется также в случае вязких течеинй, когда поток вблизи стенки перестает удовлетворять гипотезе о сплошности среды Уайтхед н Дэвис [1969] разработали аналитическую формулировку граничных условий для подобных течений со скольл<еиием, включая перенос массы (вдув) через стенку. ) Нельзя также задавать дТ/ду. Как известно, предположение об адна-батичиостп стеикн согласуется с уравнениями течения невязкого газа Однако стенка аднабатичпа и поток тепла Qw = к(дТ1ду) \ .j = О не потому, что дТ/ду = О, а потому, что = П первые два условия обычным условием по числу Куранта, а в условии (5.112в) коэффициент /г заменить на Д для более общего класса течений. Сакураи и Ивасаки [1970] применили явную схему метода чередующихся направлений Саульева (см. разд. 3.1.17) для представления диффузионных членов при расчете одномерных задач, однако влияние конвективных членов на устойчивость при этом осталось невыясненным. Заметим, что многие исследователи гиперзвуковых течений вязкого газа предпочитают неконсервативную форму уравнения энергии (с переменной Т вместо переменной Es) для того, чтобы при вычислении температуры и затем давления избежать появления разности двух больших чисел (полная энергия минус кинематическая энергия). 5.7. Граничные условия для течений сжимаемой жидкости Замечания, сделанные в разд. 3.3.1 по поводу особой важности численных граничных условий, относятся равным образом и к течениям сжимаемой жидкости. Рассуждения здесь будут основываться на некоторых основных положениях, полученных в разд. 3.3 для течений несжимаемой жидкости, однако некоторые аспекты будут присущи лишь течениям сжимаемой жидкости. Наиболее сложной границей является, как это ни странно, простая стенка. 5.7.1. Стенка с условием скольжения Сначала рассмотрим уравнения течения невязкого газа и соответствующие им условия скольжения). Граничные условия на стенке для сплошной среды требуют, чтобы ноток был параллелен стенке, т. е. чтобы нормальная скорость здесь равнялась нулю. Другие переменные не задаются в качестве граничных условий. Например, было бы неправильным задавать в случае уравнений течения невязкого газа). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|