Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [ 150 ] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

малые деформируемые частицы, например кровяные тельца в плазме.

Обсудим, наконец, усложнения уравнении Навье - Стокса, вытекающие из различного выбора математического описания: лаграйжевы методы, методы сращивания и методы Моите-Карло.

В лагранжевых методах применяемые уравнения получаются иа основе наблюдения за фиксированной «частицей» жидкости и прослеживания ее движения через весь поток. Эти методы противостоят принятым в настоящей книге эйлеровым методам, в которых рассматривается фиксированный объем в пространстве с протекающими через него частицами жидкости. Мы уже отмечали некоторые схемы (скажем, метод частиц в ячейках, разд. 5.5.3), в которых применяется смснланное лаграижево и эйлерово описание. Для одномерных течений лаграижев подход часто является более простым, однако для многомерных течений с большими искажениями расчетной сетки лаграйжевы методы становятся неточными и чрезвычайно сложными).

В методах сращивания иредприиимаются попытки численно срастить решения в областях, в которых приняты различные предположения для упрощения системы уравнений Навье- Стокса. Например, расчет течения в ближнем следе за снарядом можно проводить по теории течения невязкой жидкости (метод характеристик) для внешнего течения, ио теории пограничного слоя оторвавшегося сдвигового слоя и, возможно, по уравнениям несжимаемой жидкости в области возвратного течения. Не говоря уже об очевидном усложнении программирования, в подобных методах имеются принципиальные трудности, связанные с условиями стыковки решений, которые должны быть удовлетворены (или, наоборот, выборочно опущены) поперек границ, с итерационным положением и описанием границ между областями (например, может ли линия тока, отделяющая область возвратного течения, апироксимпроваться кривой второго порядка, начинается ли она в вершине острого угла на поверхности тела?), с устойчивостью глобальных итераций при сращивании. Несмотря на все эти трудности, было опубликовано некоторое число работ, содержащих хорошие численные решения, полученные методами сращивания.

) Часто говорят, что лаграижево описание непрпемлемо в задачах с большими деформациями. Это утверждение неточно: например, в задаче о сферическом взрыве могут возникать большие деформации, однако лаграйжевы подход!.! применять здесь очеиь удобно.

Лаграижево описание неприемлемо скорее б задачах с большими искажениями (т.е. касательными деформациями) ла1рапжевой сетк!!. например в задачах о течениях в пограничном слое



В методах Монте-Карло при помощи конечного числа «вычислительных частиц» моделируется статистическая природа молекулярного рассмотрения течений. При помощи этих методов были получены схемы, аппроксимирующие полное уравнение Больцмана. Расчеты проводились при числах Кнудсена порядка 0.01, что соответствует приближению к режиму течения сплошной среды.

Применение лагранжева подхода или смешанного лагранже-во-эйлерова подхода можно найти) в работах Шульца [1964], Ноха [1964], Франка и Лазаруса [1964 , Зуева [1966], Уотсона и Годфри [1967], Уотсона [1969], Б. К. Кроули [1967], Хикса и Пелцла [1968], Хикса [1969], Уилкинса [1969], У. П. Кроули [1970а], Архангельского [1971]. Основы подходов изложены в книге Рихтмайера и Мортона [1967]. Блеветт [1970] разработал двумерный квазилагранжев метод, в котором прослеживается не масса, а энергия в ячейке расчетной сетки. Методы сра-ш,ивания применяли Вейс с соавторами [1966], Моретти и Аббетт [1966а], Баум и др. [1964], Баум и Орепбергер [1970]. Браиловская [1967] успешно сращивала решение уравнений Навье - Стокса около излома поверхности с невязким решением вверх по течению и с решением уравнений пограничного слоя второго порядка вниз по течению. Брили [1970] обсуждал проблемы сращивания вязких и певязкнх решений в несжимаемой жидкости.

Методы Монте-Карло и другие методы случайного блуждания применяли Вогениц с соавторами [1968, 1970], Вогениц и Таката [1970, 1971], Берд [1969а, 19696, 1969в, 1970а, 19706], Бульярелло и Джексон [1967], Толли и Уитекер [1969], Мейттс [1970], Макферсон [1971]. В обзоре йена [1969] описаны различные методы Монте-Карло и другие методы расчета течений разреженного газа, имеются также дополнительные ссылки. Обзор Халтона [1970] также посвящен методам Монте-Карло.

6.5. Направлэния будущих исследований

в этом заключительном разделе настоящей главы мы приведем некоторые соображения по поводу направлений дальней-Hiero исследования задач вычислительной гидродинамики и дадим некоторые ссылки (конечно, далеко не исчерпывающие) по еще не затронутым нами вопросам.

Что касается основных методов, то наиболее важной областью развития являются, вероятно, полуаналиттеские (или, что то же самое, полудискретные) методы расчета. Это название охватывает различные методы (метод усеченных рядов, метод

) Мы не будем повторять здесь ссылок, приведенных в разд. 5.5.3.



1969], Таками и Кел-1970], Нелсон [1970],

[1969], Брайен и Чайлдс [1969], Мейер лер [1969 , Глиз [1969а, 19696], Вемури

Джаффе и Томас [1970], Пирс [1970], Клингер [1970], "Истон и Кеттон [1970], Томисон [1971], Белоцерковский с соавторами [1970], Холт и Ндефо [1970], Чушкин [1970а], Б. У. Томпсон [1971], Деннис и Станифорт [1971], Холт и Мессон [1971], Мелник и Айвз [1971].

Можно ожидать, что в будущем будут более интенсивно применяться такие методики, как методы сращивания (несмотря на их скромные успехи в настоящее время), смешанные эйлерово-лагранжевы методы и в особенности методики самонастраивающихся преобразований координат и выделения скачков. Другим из возможных путей развития является применение методов конечных элементов) для расчета невязких дозвуковых течений; см. работу Сакетта и Хили [1969], а также обзор Зенкевича [1969]; приложения к задачам гидродинамики можно найти в работе Аргириса с соавторами [1970]. Метод конечных элементов применим также к чисто диффузным задачам, однако

) Термин «метод конечных элементов» не очень отчетлив, и многие авторы ошибочно применяют его к методам типа метода частиц в ячейках и к методам, использующим уравнения, полученные рассмотрением контрольного объема (см. разд. 3.1.2). Хотя такое употребление этого термина в принципе возможно, оно не оправдано исторически. По принятой традиции методами конечных элементов называют методы, основанные на вариационном принципе.

интегральных соотношений, метод прямых, смешанные дифференциально-конечно-разностные методы и т.д.), в которых решение системы дифференциальных уравнений в частных производных сводится к решению системы обыкновенных уравнений при помощи эффективных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге - Кутта, метод инвариантного погружения и др.).

Этот подход находится несколько в стороне от общего подхода вычислительной гидродинамики, состоящего в моделировании течений. Важно сознавать, что свойства получающихся обыкновенных дифференциальных уравнений могут радикально отличаться от свойств соответствующих уравнений в частных производных; например, при применении метода прямых к уравнениям в частных производных для ламинарного пограничного слоя получающиеся в результате обыкновенные дифференциальные уравнения являются жесткими.

По ирименению иолуаналитических методов можно указать следующие работы: Фридман [1956], Гершуни с соавторами [1966], Деннис с соавторами [1968], Деннис и Чен [1969, 1970], Керр и Александер [1968], Керр [1968, 1969, 1970], Веронис [1968], Лакинбилл и Чайлдс [1968], Ундервуд [1969], Ндефо



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [ 150 ] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199