 |
 |
 |
 |
3.2.5. Тактика и стратегия
Форсайт [1956] указал, что значение параметра релаксации (Оо, получаемое из уравнения (3.382), оптимально в «стратегическом» смысле, т. е. при длительном итерировании. При этом суммарная ошибка 2f/"0 асимптотически (при fe->oo)
быстрее всего при со = щ. Но при конечном k оптимальное значение может оказаться несколько меньше соо в зависимости от начального распределения ошибки. Действительно, если ограничиться одной итерацией {k-\), то выбор параметра (й = 1 (метод Либмана) приводит к наибольшему уменьшению суммарной ошибки за один обход расчетных точек; таким образом, метод Либмана оптимален в «тактическом» смысле, т. е. при кратковременном итерировании (Форсайт [1956]). (Метод Либмана и метод последовательной верхней релаксации сопоставлял и Келлер [1958].)
Как всегда, выбор критерия оптимальности оказывает влияние на определение величины оптимального параметра, а точная математическая теория не может внести ясность в произвольно установленные стандарты). Янг и Кинкейд [1969] установили, что результаты сравнения различных итерационных методов в значительной степени зависят от различного выбора критериев оптимальности даже при k-oo.
Численные расчеты, выполненные автором настоящей книги на сетке с размером 21X21, показали, что преимущество (в смысле суммарной ошибки) выбора величины ы = 1 над выбором оптимального параметра со = coq может сохраняться до числа итераций = 6 или = 8. Кроме того, по сравнению со случаем со = 1 выбор со = (Dq приводит к большому разбросу ошибки; если же направление обхода расчетных точек меняется на каждой итерации (скажем, с if, /f на i\, j\ или другим
) Такой произвол существует даже для сравнительно хорошо поставленной задачи сходимости решения дискретизированного уравнения Пуассона. А что подразумевают под «оптимальным» решением военные, разрабатывающие оборонительные планы, экономисты, социологи, градостроители И т.д.?
Одной из простейших легко программируемых модификаций метода последовательной верхней релаксации является использование на первой итерации метода Либмана при ©= 1, а затем расчет при со = юо (Шелдон [1959], Карре [1961], Янг и Кинкейд [1969]). Предложение Чу [1970] чередовать направление обхода расчетных точек оказалось полезным при решении более общих задач, чем решение простого уравнения Пуассона.
3.2.6. Неявные схемы метода чередующихся направлений
Продолжая аналогию между итерационным решением уравнения Пуассона и асимптотическим установлением по времени решения нестационарного уравнения диффузии, естественно рассмотреть неявные схемы метода чередующихся направлений, описанные в разд. 3.1.16. Действительно, Писмен и Ракфорд в своей статье [1955] обсуждали обе эти задаТи. По аналогии с уравнением (3.308) при р = Ах/Ау имеем
1].-" = +[бV" + Pбф + A/a (3.383а)
= ф*+>/2 + [бф+>/2 + pV,- + АхМ (3.3836)
где = .-2ф. / + / и 62* = ,.,/+,-2,,/-f vj). Первое уравнение неявно по х, имея трехдиагональную форму (см. приложение А), второе неявно по у. Сходимость обеспечивается тем, что на обоих полушагах берется одна и та же величина Д (см. ссылки в разд. 3.1.16).
образом), то это не оказывает влияния на сходимость в среднем, но разброс ошибки уменьшается. (Усложнение программирования и дополнительная затрата машинного времени при таком способе обхода зависят от типа ЭВМ.) Наиболее эффективные итерационные методы не приводят к строго симметричным численным результатам даже при симметричных граничных условиях, что можно классифицировать как еще одну «ошибку», связанную со свойствами схемы. Заметим, что одним из преимуществ грубого метода Ричардсона является строгая симметричность получаемых численных результатов. Такая симметричность может оказаться желательной, например, при проведении сверхустойчивых расчетов для исследования гидродинамически неустойчивого течения. Заметим также, что в методе последовательной верхней релаксации осцилляция, вызванная чрезмерно большим шагом по времени, при ы = соо оказывается больше, чем при ы = 1 или в методе Ричардсона.
В заключение заметим, что в гидродинамике полученное для я5 решение используется для определения составляющих скорости и и V при помощи численного дифференцирования. Таким образом, ошибки в величинах S\}>/Sx и S\}>/Sy должны рассматриваться как надлежащие показатели сходимости решения, но, насколько известно автору, ни в одном исследовании они в таком качестве не использовались.
d\Y дх
= 0, -1 =0, (3 385а)
=0 дч уо
iKl,y) = 0, я5(л:, 1)= 1. (3.3856)
После умножения на p = 2AaV(ccA0 уравнения (3.383) можно записать в виде
- (2 + Р) <V + tT, = = - Р[< - (2 - Р) , + t. - Х. V (3-384а) <+Д,-(2 + р)<+ + ФГД,=
= - VtXl", - (2 - Р) ЧГ/ + - A;/?, г (3.3846)
Можег показаться, что выбор очень больших А/ (малых р) будет ускорять асимптотическую по времени скорость сходимости, но в действительности существуют некоторые оптимальные значения А/ или р. При оптимальном р сходимость достигается за несколько меньшее число итераций, чем при использовании метода последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром Такая более быстрая сходимость представляется правдоподобной, ибо неявность схемы приводит к тому, что влияние эллиптических граничных условий сказывается в течение всего времени. Однако выполнение одной итерации в неявной схеме метода чередуюшихся направлений занимает больше времени, и поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром фактически требует меньше машинного времени, чем такая «однопарамет-рическая» неявная схема метода чередующихся направлений (Биркгоф с соавторами [1962], Уэстлейк [1968]).
Неявная схема метода чередующихся направлений становится по-настоящему эффективной в случае выбора последовательности итерационных параметров ps, которая заменяет один параметр р в уравнении (3 384). Найти такую оптимальную последовательность, очевидно, труднее, чем найти один оптимальный параметр. Здесь накладываются дополнительные ограничения, такие, как желательное относительное уменьшение начальной ошибки или желательное число итераций. Определение последовательности по праву было и остается предметом исследований прикладной математики. В качестве примера мы приведем последовательность р, применявшуюся в работе Писмена и Ракфорда [1955].
В этой работе решалась плоская симметричная задача теплопроводности в квадратной области с шагами сетки Ал: = Ау; тогда в уравнении (3.384) t = О, [5=1. Граничные условия (в силу симметрии рассматривалась четверть области) были таковы:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199