Запорожец Издания
где Rg - газовая постоянная. Постоянная Rg связана с удельными теплоемкостями при постоянном давлении Ср и постоянном объеме Cv следующим образом ): R, = Cp-Cp. (4.20) Далее, будем считать газ калорически совершенным, т. е. будем полагать, что его внутренняя энергия ё имеет вид eCJ, (4.21) где удельная теплоемкость С» постоянна. Подстановка (4.20) и (4.21) в (4.19) дает P = ~plZe = ~pe{y- [), (4.22) где y = Cp/Cv - отношение удельных теплоемкостей. Приблизительный диапазон изменения у от 5/3 1.67 для одноатомных газов (например, гелия), 7/5= 1.4 для двухатомных газов (воздуха), 9/7 1.28 для трехатомных газов (двуокись углерода) до 1.1 для сложных выхлопных газов реактивного двигателя 2). Предположение (4.21) лучше всего выполняется для одноатомных газов и значительно хуже - для трехатомных газов. Все калорически совершенные газы имеют уравнение состояния (4.22), и их часто называют газами с постоянным показателем адиабаты. С учетом соотношения (4.12) давление Р выражается через консервативные неременные следующим образом; Р = [£,-V2P(« + y-)](Y-I). (4.23) В работе Даля [1969] приведена программа расчета термодинамических величин реальных газовых смесей, составленная на Фортране. Скоростной нанор р{и}-и)/2 выражается через консервативные неременные р, pfi и рс следующим очевидным образом: ур(й-М) = -. (4.24) Выразим теперь через основные переменные член V-q (поток тепла) и член с тензором вязких напряжений V.(n.V), применив закон Фурье к первому из этих членов и гипотезу Стокса к второму. ) Раньше равенство (4.20) часто писа.пи в следуюн1ем виде: Rg = = (Ср - Cv)f, где / - тепловой эквивалент механической работы. Равенство (4.20) предполагает использование соответствующей системы единиц. 2) В пределе для несжимаемой жидкости Y = 1> но переход к это.чу пределу необходимо производить осторожно во избежание получения неправильных уравиепий. Закон теплопроводности Фурье для среды, предполагаемой изотропной, гласит q= - kVT, (4.25) что дает V.c, = V.«rJL--(,I) + -(,I). (4.26) Для определения члена, содержащего вязкие напряжения, можно записать (см. Овчарек [1964]): П 1 n„ii + ni2ij + + (4.27) V = «i + yj; (4.28) тогда П • V = (niiii + niaij + Лг,]! + Лгг]"]") • (ы! + v]) = = ЛцМ! + Пх20\ + Л21И] + Л22»] = = I (ЛцИ + Л,2У) + ] (Л21И + Л22»). (4.29) Для любого вектора a = a,i + a2J (4.30) имеем V.a=(a,) + (a2) (4.31) и поэтому V . (П . V) = (Л„И + Л,2») + (Я2,« + Я22У). (4.32) Компоненты тензора напряжений выпишем из книги Овчарека ([1964], формула (10.17)): Л21=Л12, Л22 = AD + 2а. с учетом этих соотношений равенство (4.32) принимает вид V. (П . V) [»ЯО + ,„ f ] + (1 + + Р д ди , , . dv v-(n.V) = (л«) + (М 4-- (Яи)~ + (М дх > f- дх dv , , . ди dv , , . ди ду 1 ду ду ду ду ди , , S dv (11)-1-(nH)i +171(" + " • "- Для определения ji и fe также необходимы дополнительные соотношения. Предположение о постоянстве Дни может упростить вязкие члены и поэтому оказаться полезным для проведения тестовых расчетов. Однако предположение о постоянстве Д плохо выполняется для газов даже при умеренных сверхзвуковых числах Маха и поэтому может быть рекомендовано лишь для тестовых задач. Предположение о постоянстве k более реалистично, однако для общности мы будем считать переменной и эту величину. Существуют несколько соотношений для определения коэффициентов переноса Д и fe. Эти соотношения удобно обсудить в следующем разделе. Уравнения (4.35) и (4.26) вместе с уравнением состояния (4.23) и соотношениями для коэффициентов переноса Д и fe замыкают уравнение энергии в консервативной форме для основных переменных, удобной для перехода к конечно-разностному представлению. Но прежде чем перейти к численному решению уравнений, следует записать их в безразмерном виде. 4.5. Безразмерный вид консервативных уравнений Для того чтобы можно было независимо менять характерные параметры задачи, гораздо выгоднее вести расчеты для уравнений в безразмерном виде. Приведение к безразмерному виду уравнений для сжимаемой жидкости охватывает гораздо большее число переменных, чем для несжимаемой жидкости в особенности в том случае, когда жидкость имеет переменные свойства, как это принято здесь). Различный выбор характерных величин, к которым относятся соответствующие размерные величины, приводит к различному безразмерному виду уравнений. Так, например, Крокко [1965] все величины относит к параметрам торможения. Скоглунд и Коул [1966] и некоторые другие авторы в качестве характерной скорости берут скорость звука в набегающем ) Это усложнение не столь неприятно при консервативной записи уравнений, как при традиционной. Для удобства конечно-разностного представления желательно привести члены к виду d[fdg/dy]/дх, d[fdg/dx]/dx и т. п. Введем величины Я = х -7з[> т) = к-- 7з!- После подстановки этих величин в (4.34) и перегруппировки членов получим 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [ 103 ] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|