Запорожец Издания
уравнение (2.4) можно записать как уравнение Пуассона, имеющее эллиптический тип: Щ = (2.8) В уравнение переноса вихря (2.5) входит нестационарный член dl/dj, конвективные) члены йд1/дх и vdtjdy, а также член \V%, связанный с вязкой диффузией. Это уравнение нелинейно из-за конвективных членов, так как в силу (2.7) и (2.8) й и V представляют собой функции зависимого переменного Оно является параболическим по времени, и поэтому для него ставится задача с начальными условиями, в которой решение «продвигается» шаг за шагом от некоторых начальных данных. Уравнение (2.8) для функции тока является эллиптическим, поэтому для него ставится задача с граничными условиями, которая обычно решается итерационными методами. Во многих практических задачах интересуются не поведением решения во времени, а только стационарным решением; в этом случае в левой части уравнения (2.5) можно положить dt/dt==0, исключив таким образом одну независимую переменную -время. Как правило, так и делают при аналитических исследованиях; поэтому те, кто не имел дело с вычислительной гидродинамикой, обычно удивляются, обнаружив, что большинство (хотя и не все) эффективных численных методов решения даже стационарных задач гидродинамики основывается на интегрировании нестационарных уравнений, а стационарное решение (если оно существует) получается как асимптотический по времени предел решения нестационарных уравнений. Стоит также заметить, что уравнение переноса вихря (2.5) служит для модельного описания многих других процессов переноса и что методы, излагаемые в следующей главе, часто применимы к самым разнообразным процессам переноса, включая случай течения сжимаемой жидкости, который будет рассмотрен в гл. 4 2). Уравнения движения сжимаемой жидкости ) Автор называет такие члены адвективными (advective) и поясняет это следующим образом: «Термины «коив&ктивиый» и «адвективный» практически являются синонимами (конвекция означает, что вихрь переносится по течению, а адвекция - что он движется вместе с жидкостью). Первым из них, как правило, пользуются инженеры, вторым - метеорологи, которые резервируют т;рмин «конвекция» для вертикальных движений атмосферы». Так как в нашей гидродинамической литературе термин «адвективный», насколько нам известно, не применяется, в переводе везде исполвзуется более привычный читателю термин «конвективный». - Яриж. ред. ) Весьма систематическое описание общих процессов переноса дается в статье Фалфорда и Пея [1969]. Общность понятий убедительно иллюстрируется тем фактом, что уравнения движения сжимаемой жидкости могут быть использованы для моделирования задач о движении транспорта иа автостраде. 32 2.4. Уравнения в безразмерных переменных гораздо сложнее уравнения переноса вихря, но связаны с ним в такой мере, что изучение более простого уравнения переноса вихря несомненно оказывается полезным для исследования уравнения движения сжимаемой жидкости. Математики обычно довольствуются классификацией (линейных) дифференциальных уравнений в частных производных по следующим типам: параболические, эллиптические или гиперболические. При такой классификации не делается различия между уравнением (2.5) переноса вихря и уравнением диффузии дуд! ~ад%1дх, однако, как мы увидим ниже, наличие в уравнении (2.5) производной первого порядка (конвективного члена) делает его качественно отличным от уравнения диффузии, причем при численном рещении конвективный член играет важную роль. К сожалению, для двух указанных членов наиболее эффективными могут оказаться различные численные схемы. 2.3. Консервативная форма уравнений Уравнение неразрывности (2.3) 5". + L==o дх ду можно записать через вектор полной скорости V в следующем виде: V . V = 0. (2.9) Рассмотрим V-(V, g). В векторной алгебре известно тождество V . (Vt) = V . т + (V • V) = V . (Vl). Таким образом, для того чтобы получить консервативную форму уравнения переноса вихря, в уравнении (2.5) надо заменить V- (Vf) на V- (Vf), что дает . v.(va+.n=-#-+.(#+). (.10, Смысл и преимущество использования такой «консервативной» или «дивергентной» формы уравнений будут обсуждаться в разд. 3.1.3. 2.4. Уравнения в безразмерных переменных Система уравнений в безразмерных переменных, используемая в этой книге, всюду основывается на конвективном масштабе времени Е/Оо, где Г - характерная длина, а Uq - характерная скорость задачи; например, если L -длина хорды кры- лового профиля и Do - скорость набегающего потока, то Б/Do - время, за которое частица набегающего потока проходит весь профиль. Введем следующие безразмерные величины: -To =1 y-b =w -Ж - тогда уравнения (2.10) и (2.8) примут вид = -V.(V?)+-V (2.12) (2.13) где Re - безразмерный параметр, число Рейнольдса, Re = t7oL/v. (2.14) Таким образом, для любого заданного набора граничных условий течение характеризуется одним безразмерным параметром- числом Рейнольдса. Для течений с большими числами Рейнольдса (Re 1) конвективный член в уравнении (2.12) превалирует над членом вязкой диффузии, и в этом случае величина LjDo будет представлять собой интервал времени, фактически характеризующий течение. Тогда, например, условие для безразмерного времени / = (L/f7o) будет подходящим критерием для достижения стационарного состояния течения. Однако течения с малыми числами Рейнольдса (Re <С 1) лучше характеризуются безразмерным «диффузионным» временем. Определяя такое безразмерное время как t = iv/L\ (2.15) а другие безразмерные величины так же, как в (2.11), получаем для функции тока то же самое уравнение Пуассона (2.13), но уравнение переноса вихря при этом принимает вид -§r=--ReV{n) + n. (2.16) Величина очевидно, имеет размерность времени. Для того чтобы оценить ее физическую значимость как масштаба времени в задачах с преобладающей диффузией, достаточно заметить, что в пределе при Re->0 уравнение (2.12) становится сингулярным, тогда как уравнение (2.16) ведет себя при этом хорошо, а конвективный член исчезает. Аналогично, уравнение (2.12) не имеет особенности при Re-oo, но при этом исчезает диффузионный член). Для течений с большими, но конечными, или с ) Этот предел не даст корректного численного решения для иевязкого или потенциального течения, если граничные условия не будут тоже приведены в соответствие невязкому течению. 0 1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|