Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

150 0 175 0


Рис/ 5.1 Расчет распространения ударном во.чны при Л1 = 3 на эйлеоовой сетке при помощи двухшаговых схем Лакса - Вендроффа с максимальным числом Куранта 0.95. По оси абсцисс отложено расстояние, по оси ординат -давление Ударная волна распространяется слева направо Показаны распределения давления через равные промежутки времени (Заимствовано из работы Таилера [1970].) а - двухшаговая схема Рихтмайера, 6, = 0: б - моли-фицированная схема Мак-Кормака, 6, = О, в - двухшаговая схема Рихтмайера, &, = 0.15; а - модифицированная схема Мак-Кормака, 6, =0325



разностной схеме нет искусственной вязкости, то не будет и механизма диссипации, посредством которого кинетическая энергия могла бы превратиться во внутреннюю, и поэтому возникают осцилляции. При 1/Re =5 О в некоторых случаях они могут затухать, но для большинства практических расчетов метод оказывается неудовлетворительным. Заметим, что усреднение осцилляции не дает правильной величины скорости ударной волны (Рихтмайер [1957]).

Только в случае течений с малыми числами Рейнольдса расчет скачков не представляет собой особой проблемы. При = = 2Ах для прямого скачка Крокко [1965] обнаружил лишь незначительные осцилляции. Скала и Гордон [1967] не встречали никаких трудностей при расчете скачка с Re40 на мелкой сетке с двадцатью узловыми точками, расположенными в пределах скачка. Проблема расчета скачков облегчается также в случае косых скачков (более слабых, чем прямые) и при наличии твердых стенок с условиями прилипания на них.

В эйлеровых переменных невозможно брать особенно мелкую сетку вблизи скачка, так как его положение заранее неизвестно. В лагранжевых переменных с перестройкой ячеек развивающийся скачок может быть рассчитан на мелкой сетке. Этот подход плодотворен в случае одномерных задач (Рихтмайер [1957]), таких, как распространение плоской или сферической ударной волны, но трудноосушествим для многомерных задач (Год [I960]). Макнамара [1966, 1967] разработал метод выделения разрывов в подвижной эйлеровой сетке, которая периодически подстраивается для слежения за контактными разрывами и скачками. Будучи в целом успешным, метод с подвижной сеткой приводит к некоторым ошибкам.

Трудности, связанные с методами выделения скачков, уже обсуждались выше. В случае фиксированных эйлеровых сеток эти методы не являются успешными. Использование их в преобразованной системе координат будет обсуждаться в гл. 6.

В обшем случае наиболее эффективным методом расчета скачков является их искусственное размазывание, так чтобы их толщина 6s составляла от ЗАх до БАх. При этом утрачиваются детали течения внутри скачка, но выполняются законы сохранения при переходе через скачок,

5.3. Размазывание скачков при помощи искусственной диссипации

Идея введения в уравнения члена с искусственной диссипацией для размазывания скачков была впервые высказана фон Нейманом [1944] н опубликована в открытой печати фон Ней-



5.4. Схемы с явной искусственной вязкостью

5.4.1. Схема фон Неймана - Рихтмайера

В 1950 г. была опубликована классическая работа фон Неймана и Рихтмайера, в которой была выдвинута идея явного введения искусственной вязкости. Для стабилизации расчета одномерного расиростраиеиия ударной волны в иевязком газе при исиользовании неконсервативной формы уравнений в ла-гранжевых переменных эти авторы ввели искусственную добавку в давление. Однако понять этот метод проще, если интерпретировать этот добавочный член как член с вязкостью; интерпретируя этот член как член с объемной вязкостью щ, получаем очевидное обобщение иа многомерный случаи.

В эйлеровых переменных рассматриваемый подход излагается слсдуюци1м образом. Возьмем одномерные уравнения,

маиом н Рихтмайером [1950J. В их методе и в других, выдвинутых позже, к уравнеииям добавляется явный член с искусственной вязкостью. Он выбирается таким образом, чтобы искусственная вязкость была существенна только в областях сильного сжатия потока, т. е. в местах формирования скачков. Вне области скачка влияние искусственной вязкости пренебрежимо мало, что отличает этот метод от метода с использованием больших значений [х (малых значений Re) в уравнениях для вязкого газа, как это делали Ладфорд, Полячек и Зегер [1953].

Альтернативным подходом является разработка таких конечно-разностных схем, в которых размазывание скачков осуществляется автоматически, без явного введения в уравнения членов с вязкостью. Такие методы будем называть методами с неявной искусственной вязкостью или методами с неявным демпфированием. В некоторых из этих методов для стабилизации сильных разрывов может потребоваться введение также явной искусственной вязкости. Первые расчеты скачков с введением неявной искусственной вязкости были выполнены Ладлоффом и Фридманом [1954]. Как при явном, так и при неявном введении искусственной вязкости схема должна быть «диссипативной» в математическом смысле (Рихтмайер и Мортон [1967]), должна подавлять коротковолновые возмущения в большей мере, чем длинноволновые. Это свойство является необходимым условием того, чтобы конечно-разностная схема удовлетворяла условию роста эитроиип при переходе через скачок уплотнения, автоматически запрещая существование скачков разрежения (см., например, Овчарек [1964]). К счастью, это условие легко (даже непроизвольно) удовлетворяется.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199